【数学C】複素数平面～基本公式・例題一覧～

①　\(z\) が実数　⇔　\(\color{red}{\overline{z} = z}\)

②　\(z\) が純虚数　⇔ \(\color{red}{\overline{z} = – z, z \neq 0}\)　

①　\(\color{red}{\alpha + \overline{\alpha} = 2a}\)

②　\(\color{red}{\alpha \overline{\alpha} = a^2 + b^2}\)

②　\(\color{red}{\overline{\overline{\alpha}} = \alpha}\) 　⇐共役な複素数のバーは２回で外れる　

①　\(\color{red}{\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}}\)

②　\(\color{red}{\overline{\alpha – \beta} = \overline{\alpha}}\) \(\color{red}{-}\) \(\color{red}{\overline{\beta}}\)

③　\(\color{red}{\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha}}\) \(\color{red}{\overline{\beta}}\)

特に、\(\color{red}{\overline{\alpha^n} = (\overline{\alpha})^n}\)

④　\(\color{red}{\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} = \displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}\)

\(|\alpha| = |a + bi| = \color{red}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

①　\(|\alpha| = |\overline{\alpha}| = |- \alpha|\)

②　\(\color{red}{z\overline{z} = |z|^2} \)

\(\alpha = a + bi , \beta = c + di\) のとき

２点 \(\alpha , \beta\) 間の距離は　\(|\beta – \alpha| = \color{red}{\sqrt{(c – a)^2 + (d – b)^2}}\)

\(a \neq 0\) のとき

３点 \(0, \alpha, \beta\) が一直線上にある　⇔　\(\color{red}{\beta = k\alpha}\) となる実数 \(k\) がある

\( \alpha = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1 ), \beta = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2 )\) のとき

①　\(\color{red}{\alpha \beta = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}}\)

②　\(\color{red}{\displaystyle\frac{\alpha}{\beta} = \displaystyle\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2) \}}\)

①　\(\color{red}{|\alpha \beta| = |\alpha||\beta| , arg\alpha \beta = arg\alpha + arg\beta}\)

②　\(\color{red}{\left|\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right| = \displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|} , arg\displaystyle\frac{\alpha}{\beta} = arg\alpha – arg\beta}\)

\(\alpha = \cos\theta + i\sin\theta\) と\(z\) に対して, 点 \(\alpha z\) は, 点 \(z\) を原点を中心として\(\theta\)だけ回転した点である。

\(n\) が整数のとき

\(\color{red}{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}\)

自然数 \(n\) に対して

\(\color{red}{z_k = \cos\displaystyle\frac{2k\pi}{n} + i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{n}} \)

\((k = 0, 1, 2, \cdots, n – 1)\)

\(|z – \alpha| = \gamma \) 　⇒　点 A を中心とする半径\(r\) の円

\(|z – \alpha| = |z – \beta| \) 　⇒　線分 AB の垂直二等分線

点 \(\beta\) を, 点\(\alpha\) を中心として角\(\theta\) だけ回転した点を\(\gamma\) とすると

\(\color{red}{\gamma – \alpha = (\cos\theta + i\sin\theta)(\beta – \alpha)}\)

半直線 AB から半直線 AC までの回転角\(\theta\) は

\(\color{red}{\theta = arg\displaystyle\frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha}}\)