データの分析　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学I）〜

このページは【データの分析】の問題まとめページです。

特に重要な基礎問題と解答を一問一答式で出題しています。

問題解き、解説をしっかり読んで理解することで、定着を図ることができます。

【データの分析】基本問題一覧〜一問一答式（高校数学I）〜

問1

20人の生徒に行った漢字テストの結果が次の度数分布表で与えられている。このデータの平均値を求めなさい。

階級（点）	階級値	度数（人）
0以上 4未満	2	2
4以上 8未満	6	8
8以上 12未満	10	7
12以上 16未満	14	3
合計		20

解答・解説

解説

（階級値）×（度数）を各階級で計算する 度数分布表から平均値を求める場合、各階級のデータはすべて階級値であると仮定して計算します。
- 0以上 4未満: 2 (点) × 2 (人) = 4
- 4以上 8未満: 6 (点) × 8 (人) = 48
- 8以上 12未満: 10 (点) × 7 (人) = 70
- 12以上 16未満: 14 (点) × 3 (人) = 42
（階級値）×（度数）の合計を求める 合計 = 4 + 48 + 70 + 42 = 164
平均値を求める 平均値 = (階級値 × 度数の合計) ÷ (度数の合計) 平均値 = 164 ÷ 20 = 8.2
答え：平均値 8.2点

問2

A組は25人、B組は15人で、数学のテストを行った。A組の平均点は60点、B組の平均点は70点であった。A組とB組を合わせたクラス全体の平均点を求めなさい。

解答・解説

解説

各組の合計点を求める
合計点は (人数) × (平均点) で計算できます。
- A組の合計点 = 25 (人) × 60 (点) = 1500 (点)
- B組の合計点 = 15 (人) × 70 (点) = 1050 (点)
全体の合計点を求める
全体の合計点 = A組の合計点 + B組の合計点全体の合計点 = 1500 + 1050 = 2550 (点)
全体の人数を求める
全体の人数 = A組の人数 + B組の人数全体の人数 = 25 + 15 = 40 (人)
全体の平均点を求める 全体の平均点 = 全体の合計点 ÷ 全体の人数全体の平均点 = 2550 ÷ 40 = 255 ÷ 4 = 63.75 (点)
答え：全体の平均点 63.75点

問3

8人の生徒の小テストの点数は、5, 7, 10, 8, 7, 9, 6, 7 であった。このデータの平均値、中央値、最頻値を求めよ。

解答・解説

【解説】

データを小さい順に並べ替える 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10
平均値を求める データの合計をデータの個数で割る。 (5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10) ÷ 8 = 59 ÷ 8 = 7.375
答え：平均値 7.375点
中央値（メジアン）を求める データを小さい順に並べたときの中央の値。データの個数が8個（偶数）なので、中央にある2つの値（4番目と5番目）の平均を求める。 4番目の値は7、5番目の値は7。 (7 + 7) ÷ 2 = 7
答え：中央値 7点
最頻値（モード）を求める データの中で最も多く出現する値。7が3回出現しており、最も多い。
答え：最頻値 7点

問4

あるクラスの生徒11人の身長(cm)は、155, 168, 172, 158, 165, 175, 162, 160, 170, 166, 159 であった。このデータの範囲、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を求めよ。

解答・解説

【解説】

データを小さい順に並べ替える 155, 158, 159, 160, 162, 165, 166, 168, 170, 172, 175
範囲を求める 最大値 – 最小値 = 175 – 155 = 20
答え：範囲 20 cm
四分位数を求める
- データの個数は11個（奇数）。
- **中央値（第2四分位数, Q2）**は、6番目の値である 165。
- **第1四分位数（Q1）**は、中央値より小さいグループ（155, 158, 159, 160, 162）の中央値。よって、3番目の値である 159。
- **第3四分位数（Q3）**は、中央値より大きいグループ（166, 168, 170, 172, 175）の中央値。よって、3番目の値である 170。
答え：第1四分位数 159 cm, 第3四分位数 170 cm
四分位範囲を求める 第3四分位数 – 第1四分位数 = 170 – 159 = 11
答え：四分位範囲 11 cm

問5

5つのデータ 4, 6, 8, 3, 9 がある。このデータの分散と標準偏差を求めよ。

解答・解説

【解説】

平均値を求める (4 + 6 + 8 + 3 + 9) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6
偏差を求める（偏差 = 各データの値 – 平均値）
- 4 – 6 = -2
- 6 – 6 = 0
- 8 – 6 = 2
- 3 – 6 = -3
- 9 – 6 = 3
偏差の2乗を求める
- (-2)² = 4
- (0)² = 0
- (2)² = 4
- (-3)² = 9
- (3)² = 9
分散を求める（分散 = 偏差の2乗の平均値） (4 + 0 + 4 + 9 + 9) ÷ 5 = 26 ÷ 5 = 5.2
答え：分散 5.2
標準偏差を求める（標準偏差 = 分散の正の平方根） √5.2
答え：標準偏差 √5.2

問6

下の表は、20人の生徒の数学のテストの点数を度数分布表にまとめたものである。このデータから、点数の平均値、分散、標準偏差を求めよ。（小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ）

階級(点)	階級値	度数(人)
0以上 20未満	10	2
20以上 40未満	30	5
40以上 60未満	50	8
60以上 80未満	70	4
80以上 100未満	90	1
計		20

解答・解説

【解説】

平均値を求める
- 「階級値 × 度数」を各階級で計算し、合計する。 (10 × 2) + (30 × 5) + (50 × 8) + (70 × 4) + (90 × 1) = 20 + 150 + 400 + 280 + 90 = 940
- その合計を度数の合計（人数）で割る。 940 ÷ 20 = 47
答え：平均値 47.0点
分散を求める
- 分散は「(x²の平均値) – (平均値)²」の公式を使うと計算が楽になる。
- まず、「(階級値)² × 度数」を各階級で計算し、合計する。 (10² × 2) + (30² × 5) + (50² × 8) + (70² × 4) + (90² × 1) = (100 × 2) + (900 × 5) + (2500 × 8) + (4900 × 4) + (8100 × 1) = 200 + 4500 + 20000 + 19600 + 8100 = 52400
- 「(階級値)²」の平均値を求める。 52400 ÷ 20 = 2620
- 分散を計算する。分散 = 2620 – (47)² = 2620 – 2209 = 411
答え：分散 411.0
標準偏差を求める
- 分散の正の平方根を求める。 √411 ≈ 20.27…
- 小数第2位を四捨五入する。
答え：標準偏差 20.3点

問7

10個のデータ 25, 30, 18, 42, 35, 29, 21, 38, 25, 33 がある。このデータの最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を求めよ。

解答・解説

【解説】

データを小さい順に並べ替える 18, 21, 25, 25, 29, 30, 33, 35, 38, 42
最小値と最大値を求める
- 最小値: 18
- 最大値: 42
中央値（第2四分位数, Q2）を求める
- データの個数は10個（偶数）なので、中央にある2つの値（5番目の29と6番目の30）の平均を求める。
- (29 + 30) ÷ 2 = 29.5
- 中央値: 29.5
第1四分位数（Q1）と第3四分位数（Q3）を求める
- 第1四分位数（Q1）: 下位グループ（18, 21, 25, 25, 29）の中央値。3番目の値である 25。
- 第3四分位数（Q3）: 上位グループ（30, 33, 35, 38, 42）の中央値。3番目の値である 35。

答え：最小値 18, 第1四分位数 25, 中央値 29.5, 第3四分位数 35, 最大値 42

問8

ある変数xの10個のデータについて、平均値が20、標準偏差が5であった。このとき、y = 3x – 10 で変換される新しい変数yの平均値、分散、標準偏差を求めよ。

解答・解説

【解説】 変数xの平均値を x̄, 分散を sₓ², 標準偏差を sₓ とする。 x̄ = 20, sₓ = 5 なので、sₓ² = 5² = 25 となる。 y = ax + b の形で変換する場合、以下の公式が成り立つ。

yの平均値 ȳ = a x̄ + b
yの分散 sᵧ² = a² sₓ²
yの標準偏差 sᵧ = |a| sₓ

今回の問題では a=3, b=-10 である。

yの平均値を求める
ȳ = 3 x̄ – 10 = 3 × 20 – 10 = 60 – 10 = 50
答え：平均値 50
yの標準偏差を求める
sᵧ = |3| sₓ = 3 × 5 = 15
答え：標準偏差 15
yの分散を求める
sᵧ² = (sᵧ)² = 15² = 225 （または sᵧ² = 3² sₓ² = 9 × 25 = 225）
答え：分散 225

問9

5人の生徒について、数学の得点 x と理科の得点 y を調べたところ、以下のようになった。この2つのデータの共分散を求めなさい。

生徒	A	B	C	D	E
数学(x)	4	5	7	8	6
理科(y)	5	4	8	7	6

解答・解説

解説

xとyの平均値をそれぞれ求める xの平均値 x̄ = (4+5+7+8+6) / 5 = 30 / 5 = 6 yの平均値 ȳ = (5+4+8+7+6) / 5 = 30 / 5 = 6
xの偏差とyの偏差をそれぞれ求める
- A: x-x̄ = 4-6 = -2, y-ȳ = 5-6 = -1
- B: x-x̄ = 5-6 = -1, y-ȳ = 4-6 = -2
- C: x-x̄ = 7-6 = 1, y-ȳ = 8-6 = 2
- D: x-x̄ = 8-6 = 2, y-ȳ = 7-6 = 1
- E: x-x̄ = 6-6 = 0, y-ȳ = 6-6 = 0
（xの偏差）×（yの偏差）をそれぞれ計算する
- A: (-2) × (-1) = 2
- B: (-1) × (-2) = 2
- C: 1 × 2 = 2
- D: 2 × 1 = 2
- E: 0 × 0 = 0
共分散を求める 共分散は、（xの偏差）×（yの偏差）の平均値です。合計 = 2 + 2 + 2 + 2 + 0 = 8 共分散 = 8 ÷ 5 = 1.6
答え：共分散 1.6

問10

ある2つの変数 x, y について、x の標準偏差が 2、y の標準偏差が 4、x と y の共分散が 6 であるとき、x と y の相関係数を求めなさい。

解答・解説

解説

相関係数の公式を確認する 相関係数(r) = (共分散) / (xの標準偏差 × yの標準偏差)
与えられた値を公式に代入する xの標準偏差 s_x = 2 yの標準偏差 s_y = 4 共分散 s_xy = 6r = 6 / (2 × 4) = 6 / 8
計算する r = 6 / 8 = 3 / 4 = 0.75
答え：相関係数 0.75