数学検定準２級対策（１次計算技能検定）単元別問題まとめ～一問一答式～

\((x + y)^2 – 3x(2x – y)\)

\(= x^2 + 2xy + y^2 – 6x^2 + 3xy\)

\(= -5x^2 +5xy + y^2\)

よって

\( \color{red}{-5x^2 +5xy + y^2}\)

\((a + 3)(2a -1) – 3a(a – 1)\)

\(= 2a^2 – a + 6a -3 – 3a^2 + 3a\)

\(= -a^2 +8a -3 \)

よって

\(\color{red}{-a^2 +8a -3} \)

\((x + 3)(x – 5) – (3 – 2x)^2\)

\(= x^2 -2x -15 – (9 – 12x + 4x^2)\)

\(= x^2 -2x -15 – 9 +12x -4x^2\)

\(= -3x^2 +10x -24\)

よって

\( \color{red}{-3x^2 +10x -24}\)

\((3a + b)(-4a +5b) – (a + b)(a -b)\)

\(= -12a^2 + 15ab -4ab +5b^2 – (a^2 – b^2)\)

\(= -12a^2 +11ab + 5b^2 – a^2 + b^2\)

\(= -13a^2 +11ab + 6b^2\)

よって

\(\color{red}{-13a^2 +11ab + 6b^2}\)

\((2x + y)(2x – y ) – 4x(5 – x)\)

\(= 4x^2 – y^2 – 20x +4x^2\)

\(= 8x^2 – 20x – y^2\)

よって

\(\color{red}{8x^2 – 20x – y^2}\)

\(3x^2y – 9xy^2\)

\(= 3xy(x -3y)\)

よって

\( \color{red}{3xy(x -3y)}\)

\(4x^2 + 12xy + 9y^2\)

\(= (2x)^2 + 2\cdot (2x)\cdot (3y) + (3y)^2\)

\(= (2x +3y)^2\)

よって

\(\color{red}{(2x +3y)^2} \)

\(25x^2 – 16y^2\)

\(= (5x)^2 – (4y)^2\)

\(= (5x + 4y)(5x – 4y)\)

よって

\( \color{red}{(5x + 4y)(5x – 4y)}\)

\(a^2 -5ab +6b^2\)

\(= a^2 + (-3b-2b)\cdot a +(-3b)\cdot(-2b)\)

\(= (a – 3b)(a – 2b)\)

よって

\(\color{red}{ (a – 3b)(a – 2b)}\)

\(x^2 + xy – 20y^2\)

\(= x^2 + (5y -4y)\cdot x + (5y)\cdot (-4y)\)

\(= (x+5y)(x-4y)\)

よって

\(\color{red}{(x+5y)(x-4y)}\)

\(\sqrt{2} – \sqrt{18} +\sqrt{32}\)

\(= \sqrt{2} – \sqrt{2 \cdot 3^2} +\sqrt{2 \cdot 4^2}\)

\(= \sqrt{2} – 3\sqrt{2} +4\sqrt{2}\)

\(= (1-3+4)\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)

よって

\( \color{red}{2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{5} \times \sqrt{10} \times \sqrt{45}\times \sqrt{40}\)

\(=\sqrt{5} \times \sqrt{10} \times 3\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}\)

\(=(\sqrt{5})^2 \times (\sqrt{10})^2 \times 3 \times 2 \)

\(=5 \times 10 \times 3 \times 2 \)

\(=300\)

よって

\(\color{red}{300} \)

\(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{27} + \displaystyle\frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} +\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3} \)

\(= \displaystyle\frac{-\sqrt{3}+9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{3}\)

\(= \displaystyle\frac{12\sqrt{3}}{3}\)

\(= 4\sqrt{3}\)

よって

\( \color{red}{4\sqrt{3}}\)

\(\sqrt{98} + \sqrt{8} -\sqrt{50}\)

\(=7\sqrt{2} + 2\sqrt{2} -5\sqrt{2}\)

\(=4\sqrt{2} \)

よって

\(\color{red}{ 4\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{7} \times \sqrt{21} \times \sqrt{12}\)

\(= \sqrt{7} \times \sqrt{7 \cdot 3} \times 2\sqrt{3}\)

\(= (\sqrt{7})^2 \times (\sqrt{3})^2 \times 2\)

\(= 7 \times 3 \times 2\)

\(= 42\)

よって

\(\color{red}{42}\)

\(x^2 – 6x + 8 =0\)

\((x – 2)(x – 4) = 0\)

よって

\( \color{red}{x = 2, 4}\)

\(x^2 + x – 3 =0\)

\(x = \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2}\)

\(x = \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}\)

よって

\(\color{red}{x = \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}} \)

\(x = -2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 1 \cdot (-1)}\)

よって

\( \color{red}{x = -2 \pm \sqrt{5}}\)

\(x^2 – 8 = 0\)

\(x^2 = 8\)

\(x = \pm \sqrt{8}\)

よって

\(\color{red}{x = \pm 2\sqrt{2}}\)

\(x^2 – 6x + 9 = 0\)

\((x – 3)^2 = 0\)

よって

\(\color{red}{x = 3}\)

\(y\) は\(x\) の\(2\) 乗に比例するから

\(y = ax^2\)(\(a\)：実数)

とおくと、

\(x = 2\) のとき \(y = 8\) より

\(8 = a \cdot 2^2 \)

\( a = 2\)

よって、\(y = 2x^2\) において

\(x = 3\) のとき

\(y = 2 \cdot 3^2\)

よって

\( \color{red}{y = 18}\)

\(x = -3\) のとき \(y = 3 \cdot (-3)^2 = 27\)

\(x = 1\) のとき \(y = 3 \cdot 1^2 = 3\)

よって

\(\displaystyle\frac{3 – 27}{1 – (-3)} = \displaystyle\frac{-24}{4} = -6 \)

より

\( \color{red}{-6}\)

\(y\) は\(x\) の２乗に比例するから

\(y = ax^2\)(\(a\)：実数)

とおくと、

\(x = 1\) のとき\(y = -5\)より

\(-5 = a \cdot 1^2 \)

\( a = -5\)

よって、\(y = -5x^2\) において

\(x = -2\)のとき

\(y = -5 \cdot (-2)^2\)

よって

\(\color{red}{y = -20}\)

\(x = 2\) のとき\(y = – 1\cdot 2^2 = – 4\)

\(x = 4\) のとき\(y = – 1\cdot 4^2 = -16\)

よって

\(\displaystyle\frac{-16 – (-4)}{4 – 2} = \displaystyle\frac{-12}{2} = -6\)

より

\(\color{red}{-6}\)

\(DE /\!/ BC\) のとき

△ABC∽△ADE より

AB : AD = BC : DE より,

\(10 : 5 = x : 4\)

\(5x = 40\)

\(\color{red}{x = 8}\)

三角形\(Y\) の周の長さを\(x\) cm とすると

相似比が \(5 : 6\) より

\(25 : x = 5 : 6\)

よって

\(5x = 25 \times 6\)

\(5x = 150\)

\(\color{red}{x = 30}\)

\(AB /\!/ CD /\!/ EF\) のとき

\(5 : 8 = x : 6\)

よって

\(8x = 30\)

\(\color{red}{x = \displaystyle\frac{15}{4}}\)

\(DE /\!/ BC\) のとき

△ABC∽△ADE より

AB : AD = BC : DE より,

\(x + 6 : 6 = 6 : 4\)

\(4(x + 6) = 36\)

\(x +6 = 9\)

\(\color{red}{x = 3}\)

三角形\(X\) の周の長さを\(x\) cm とすると

相似比が \(2 : 3\) より

\(x : 12 = 2 : 3\)

よって

\(3x = 12 \times 2\)

\(3x = 24\)

\(\color{red}{x = 8}\)

三平方の定理より

\(x = \sqrt{3^2 + 6^2}\)

\(x = \sqrt{45}\)

\(\color{red}{x = 3\sqrt{5}}\)

三平方の定理より

\(x = \sqrt{7^2 – 3^2}\)

\(= \sqrt{40}\)

\(\color{red}{x = 2\sqrt{10}}\)

\((x^2 – 3x +1)^2\)

\(= (x^2)^2 + (-3x)^2 + 1^2 + 2\cdot (x^2) \cdot (-3x) + 2\cdot (-3x) \cdot 1 + 2\cdot 1 \cdot (x^2)\)

\(= x^4 + 9x^2 + 1 – 6x^3 – 6x + 2x^2\)

\(= x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x +1\)

よって

\( \color{red}{x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x +1}\)

\((a^2 + 2a – 3)^2\)

\(= (a^2)^2 + (2x)^2 + (-3)^2 + 2\cdot (a^2) \cdot (2a) + 2\cdot (2a) \cdot (-3) + 2\cdot (-3) \cdot (a^2)\)

\(= a^4 + 4a^2 + 9 + 4a^3 – 12a – 6a^2\)

\(= a^4 + 4a^3 – 2a^2 – 12a + 9\)

よって

\( \color{red}{a^4 + 4a^3 – 2a^2 – 12a + 9}\)

\((x^2 + 2x + 7)(x^2 – 2x + 7)\)

\(= \{(x^2 + 7) + 2x\}\{(x^2 + 7) – 2x\}\)

\(= (x^2 + 7)^2 – (2x)^2\)

\(= (x^4 + 14x^2 +49) – 4x^2\)

\(= x^4 + 10x^2 +49\)

よって

\( \color{red}{x^4 + 10x^2 +49}\)

たすき掛けは次のようになる

したがって

\( \color{red}{(3x + 2y)(x – 2y)}\)

たすき掛けは次のようになる

したがって

\(\color{red}{(2a – 3b)(a + 3b)} \)

\(2a^2 b + a^2 – 8b – 4\)

\(= 2a^2 b – 8b + a^2 – 4\)

\(= 2b (a^2 – 4) + (a^2 – 4) \)

\(= (a^2 – 4)(2b + 1) \)

\(= (a + 2)(a – 2)(2b + 1) \)

よって

\( \color{red}{(a + 2)(a – 2)(2b + 1)}\)

\(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5} – \sqrt{2}} \times \displaystyle\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 – 2}\)

\(= \sqrt{5} + \sqrt{2}\)

\(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \displaystyle\frac{\sqrt{5} – \sqrt{2}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{3(\sqrt{5} – \sqrt{2})}{5 – 2}\)

\(= \sqrt{5} – \sqrt{2}\)

よって

与式）

\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} – \sqrt{2}) \)

\( = \color{red}{2\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{11} – 3}\)

\(= \displaystyle\frac{2}{\sqrt{11} – 3} \times \displaystyle\frac{\sqrt{11} + 3}{\sqrt{11} + 3}\)

\(= \displaystyle\frac{2(\sqrt{11} + 3)}{11 – 9}\)

\(= \sqrt{11} + 3\)

よって

（与式）

\(= (\sqrt{11} + 3) – \sqrt{11}\)

\(= \color{red}{3}\)

\(\displaystyle\frac{10}{\sqrt{15} + 5}\)

\(= \displaystyle\frac{10}{\sqrt{15} + 5} \times \displaystyle\frac{\sqrt{15} – 5}{\sqrt{15} – 5}\)

\(= \displaystyle\frac{10(\sqrt{15} – 5)}{15 – 25}\)

\(= – (\sqrt{15} – 5\)

\(= – \sqrt{15} + 5\)

よって

（与式）

\(= (- \sqrt{15} + 5) + \sqrt{15} \)

\(= \color{red}{5}\)

\((x – 1)(x – 9) < 0\)

よって

\(\color{red}{1 < x < 9}\)

\((x + 1)(x -3) > 0\)

よって

\(\color{red}{x < -1, 3 < x}\)

\((x + 4)(x – 12) > 0\)

よって

\(\color{red}{x < -4, 12 < x}\)

\(y = x^2 – 6x + 7\)

\(= (x – 3)^2 – 9 + 7\)

\(= (x – 3)^2 – 2\)

よって

\(\color{red}{頂点(3, -2)}\)

\( y = x^2 + 8x + 17\)

\(= (x + 4)^2 -16 +17\)

\(= (x + 4)^2 + 1\)

よって

\(\color{red}{頂点(-4, 1)}\)

放物線\( y = \displaystyle\frac{1}{2}x^2 + (k -1)x – 3k + 2\) が点\((2, -3)\) を通るから

\(-3 = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2^2 + (k -1) \cdot 2 – 3k + 2\)

\(-3 = 2 + 2k – 2 – 3k + 2\)

\(-3 = – k + 2\)

よって

\(\color{red}{k = 5}\)

両辺を\(10\) 倍すると

\(12x – 8 < 30 + 10x\)

\(12x – 10x < 30 + 8\)

\(2x < 38\)

\(x < 19\)

よって

\(\color{red}{x < 19}\)

両辺を\(6\) 倍すると

\(3x – 12 < 4x + 18\)

\(3x – 4x < 18 + 12\)

\(-x < 30\)

\(x > -30\)

よって

\(\color{red}{x > -30}\)

両辺を\(10\) 倍すると

\(2x + 20 > 7x – 30\)

\(2x – 7x < -30 – 20\)

\(- 5x < -50\)

\(x > 10\)

よって

\(\color{red}{x > 10}\)

\(11101_{(2)}\)

\(=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 1\)

\(=16 + 8 + 4 + 1\)

\(=29\)

よって

\(\color{red}{29}\)

\(12012_{(3)}\)

\(=1 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 1\)

\(=81 + 54 + 3 + 2\)

\(=140\)

よって

\(\color{red}{140}\)

\(2123_{(5)}\)

\(=2 \cdot 5^3 + 1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 3 \cdot 1\)

\(=250 + 25 + 10 + 3\)

\(=288\)

よって

\(\color{red}{288}\)

△ABC においてチェバの定理より

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{PC}{BP} \times \displaystyle\frac{QA}{CQ} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{7}{6} \times \displaystyle\frac{4}{5} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} = \displaystyle\frac{15}{14} \)

したがって、

\(\color{red}{AR : RB = 14 : 15}\)

四角形ABCDは円に内接しているので

\(\alpha + 127 = 180\)

よって

\(\color{red}{\alpha = 53^{\circ}}\)

四角形ABCDは円に内接しているので

\(\alpha = \angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)

よって

\(\color{red}{\alpha = 113^{\circ}}\)

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より

\(\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta\)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{3}{5} \right)^2 \)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{9}{25} \right)\)

\(= \displaystyle\frac{16}{25} \)

\(\cos\theta = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{16}{25}} = \pm \displaystyle\frac{4}{5} \)

\(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) のとき, \(\cos\theta < 0 \)であるから

\( \color{red}{\cos\theta = -\displaystyle\frac{4}{5} }\)

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より

\(\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta\)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{1}{8} \right)^2 \)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{1}{64} \right)\)

\(= \displaystyle\frac{63}{64} \)

\(\cos\theta = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{63}{64}} = \pm \displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\)

\(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) のとき, \(\cos\theta < 0 \)であるから

\( \color{red}{\cos\theta = -\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8} }\)

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より

\(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{2}{3} \right)^2 \)

\(= 1 – \left(\displaystyle\frac{4}{9} \right)\)

\(= \displaystyle\frac{5}{9} \)

\(\sin\theta = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{5}{9}} = \pm \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) のとき, \(\sin\theta > 0 \)であるから

\( \color{red}{\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3} }\)

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) より

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{ – \displaystyle\frac{4}{5}}\)\(= – \displaystyle\frac{3}{4}\)

よって

\( \color{red}{\tan\theta = – \displaystyle\frac{3}{4} }\)

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) より

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}}{ -\displaystyle\frac{2}{3}}\)\(= – \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\)

よって

\( \color{red}{\tan\theta = – \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2} }\)

\(A\cap B\)　は集合\(A\) ,集合\(B\) の共通部分 （\(A\) かつ \(B\) ）より

\(\color{red}{A\cap B = \{2, 6\}}\)

\(A\cup B\)　は集合\(A\) ,集合\(B\) の和集合（\(A\) または \(B\) ）より

\(\color{red}{A\cup B = \{1, 2, 5, 6, 7\}}\)

\(A\cup B\)　は集合\(A\) ,集合\(B\) の和集合 （\(A\) または \(B\) ）より

\(A\cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 \}\)

よって、要素の個数は

\(\color{red}{7個}\)

\({}_6 \mathrm{P}_{2}\)

\(= 6 \cdot 5\)

\(= 30\)

よって

\(\color{red}{30}\)

\({}_8\mathrm{P}_{3}\)

\(= 8 \cdot 7 \cdot 6\)

\(= 336\)

よって

\(\color{red}{336}\)

\({}_5 \mathrm{P}_{4}\)

\(= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\)

\(= 120\)

よって

\(\color{red}{120}\)

\({}_6 \mathrm{C}_{2}\)

\(= \displaystyle\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}\)

\(= 15\)

よって

\(\color{red}{15}\)

\({}_8 \mathrm{C}_{3}\)

\(= \displaystyle\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(= 56\)

よって

\(\color{red}{56}\)

\({}_{30} \mathrm{C}_{28}\)

\(= {}_{30} \mathrm{C}_{30 – 28}\)

\({}_{30} \mathrm{C}_{2}\)

\(= \displaystyle\frac{30 \cdot 29}{2 \cdot 1}\)

\(= 435\)

よって

\(\color{red}{435}\)