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ラッシーくん数学Ⅰ「集合と命題」の分野が苦手なので、基本事項をマスターしたいです。
このような疑問や悩みに答えます。
数学I「集合と命題」分野は、計算こそ少ないものの理解しにくい分野として苦手としている高校生も多いようです。
大学入学共通テストでも出題されますので、この分野をマスターすることで、大学受験にも優位になります。
この記事は、数学I「集合と命題」分野のまとめページとなっており、総復習をすることができます。
【集合と命題】集合と要素・部分集合・共通部分・和集合・補集合・ドモルガンの法則
集合と要素とは
数やものの集まりのことを集合、集合を構成している１つ１つのものをその集合の要素といいます。
\(a\) が集合 \(A\) の要素であることを
\(a \in A\)
と表し、\(a\) は集合 \(A\) に属するといいます。
部分集合
２つの集合\(A , B\) において、
\(A\) のどの要素も \(B\) の要素になっているとき,
すなわち
\(x \in A\) ならば \(x \in B\)
が成り立つとき、\(A\) は \(B\) の部分集合といい、
\(A \subset B\)
と表します。
共通部分と和集合
\(A, B\) のどちらにも属する要素全体の集合
\(A, B\) の少なくとも一方に属する要素全体の集合
補集合
全体集合\(U\)の部分集合\(A\)に対して、\(U\)の要素で，\(A\)には属さない要素全体の集合
ド・モルガンの法則
① \(\overline{ A\cap B } =\overline{ A }\cup \overline{ B }\)
② \(\overline{ A\cup B } =\overline{ A }\cap \overline{ B }\)
【集合と命題】命題と条件～必要条件・十分条件～
命題とは
正しいか正しくないかが明確に決まる文や式のことを命題といいます。
例えば、次のような２文があったとします。
① \(x\) を実数とするとき、\(x = 3\) ならば \(x^2 = 9\) である。
② \(x\) を実数とするとき、\(x^2 = 9\) ならば \(x = 3\) である。
①②ともに正しいか正しくないかがはっきりしますので命題です。
①のように命題が正しいとき「真」、②のように命題が正しくないとき「偽」といいます。
条件とは
例えば
「\(x\) は１より大きい数である」
という文があった場合、
\(x\) の値によっては真になる場合も、偽になる場合もあります。
このような文字 \(x\) を含んだ 文や式を\(x\) に関する条件といいます。
必要条件と十分条件
２つの条件\(p, q\)について
① 命題\(p \Rightarrow q\)が真であるとき
\(p\) は\(q\) であるための 十分条件
\(q\) は\(p\) であるための 必要条件
といいます。
② 命題\(p \Rightarrow q\)と(q \Rightarrow p\)がともに真であるとき（すなわち、\(p \Leftrightarrow q\)であるとき)
\(p\) は\(q\) (\(q\)は\(p\))であるための 必要十分条件 (\(p\) と\(q\)は同値）
といいます。
条件の否定
「条件\(p\)でない」という条件を条件\(p\)の否定といい、\(\overline{p}\) で表します。
特に、「\(p\) かつ\(q\)」、「\(p\) または\(q\)」の否定はド・モルガンの法則により、以下のようになります。
【集合と命題】逆・対偶・裏
逆・対偶・裏とは
命題 \( p ⇒ q\) に対して
逆：\( q ⇒ p\)
対偶：\( \overline{ q } ⇒ \overline{ p }\)
裏：\( \overline{ p } ⇒ \overline{ q }\)
と定義します。
逆・対偶・裏の図のイメージ
「対偶」の性質を利用することで証明できる問題もあります。
命題\(p \Rightarrow q\) を証明するには, その対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
（命題\(p \Rightarrow q\) とその対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)の真偽は一致する）
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【集合と命題】基本公式集・記事まとめ
以下で「集合と命題」の公式集と解説記事をまとめています。
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