積分法　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学III）〜

【解答】 \( \frac{2}{3}x\sqrt{x} + e^x – \sin x + C \)

【ステップ1：各項の変形】
ルートを指数の形に変形します。
\( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)

【ステップ2：公式の適用】
・\( \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \) より、
\[ \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} \]
・\( \int e^x dx = e^x + C \)
・\( \int \cos x dx = \sin x + C \)

【ステップ3：全項の結合】
これらをまとめます。
\[ \int \left( \sqrt{x} + e^x – \cos x \right) dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + e^x – \sin x + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
基本関数の積分公式は一瞬で引き出せるように復習しておきましょう。特に \( \int \cos x dx = \sin x \)（プラス）、\( \int \sin x dx = -\cos x \)（マイナス）の符号ミスに注意してください！

【解答】 (1) \( \frac{1}{8}(x^2 + 1)^4 + C \)、(2) \( \log(x^2 + 1) + C \)

【小問(1)の解説】
\( t = x^2 + 1 \) と置換します。
両辺を \( x \) で微分すると \( \frac{dt}{dx} = 2x \) より、\( x dx = \frac{1}{2} dt \)
\[ \int x(x^2 + 1)^3 dx = \int t^3 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^4}{4} + C = \frac{1}{8} t^4 + C \]
\( t \) を元に戻して、\( \frac{1}{8}(x^2 + 1)^4 + C \)

【小問(2)の解説】
公式 **\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C \)** を利用します。
分子 \( 2x \) は分母 \( x^2 + 1 \) の微分そのものです。
\( x^2 + 1 > 0 \) であるため絶対値は不要です。
\[ \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \log(x^2 + 1) + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「分母の微分がそのまま分子にある形」を見つけたら、即座に \( \log |\text{分母}| \) に着地できるよう意識しましょう！

【解答】 \( (x – 1)e^x + C \)

【ステップ1：公式の適用準備】
部分積分の公式 **\( \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) dx \)** を使います。
・\( f(x) = x \) （微分すると消える側）
・\( g'(x) = e^x \) （積分しやすい側）
とおくと、\( f'(x) = 1 \)、\( g(x) = e^x \) です。

【ステップ2：計算の実行】
公式に代入します。
\[ \int x e^x dx = x e^x – \int (1 \cdot e^x) dx \]
\[ = x e^x – e^x + C = (x – 1)e^x + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「多項式 × 指数関数（または三角関数）」の形は、多項式側を微分する側 \(f(x)\) に設定するのが鉄則です。

【解答】 \( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x – 1}{x + 1} \right| + C \)

【ステップ1：部分分数分解】
被積分関数を因数分解し、部分分数分解します。
\[ \frac{1}{x^2 – 1} = \frac{1}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x – 1} – \frac{1}{x + 1} \right) \]

【ステップ2：各項の積分】
\[ \int \frac{1}{x^2 – 1} dx = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{x – 1} – \frac{1}{x + 1} \right) dx \]
\[ = \frac{1}{2} \left( \log |x – 1| – \log |x + 1| \right) + C \]

【ステップ3：対数の性質でまとめる】
対数の引き算は割り算にまとめます。
\[ = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x – 1}{x + 1} \right| + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
分母が因数分解できる分数関数は、「部分分数分解」によって1次式の分数（対数で積分できる形）へバラすのが標準手筋です。

【解答】 \( \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C \)

【ステップ1：半角の公式で次数を下げる】
三角関数の2乗は直接積分できないため、半角の公式 **\( \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \)** で1次式に変形します。

【ステップ2：積分の計算】
\[ \int \sin^2 x dx = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 – \cos 2x) dx \]
\[ = \frac{1}{2} \left( x – \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(\sin^2 x\) や \(\cos^2 x\) の積分は、半角公式で「2乗から1次（角は \(2x\)）」へ変形するのが定石です。

【解答】 \( \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)

【ステップ1：置換の設定と区間の変換】
\( \sqrt{4 – x^2} \) の形より、\( x = 2\sin\theta \) （\( -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)）とおきます。
両辺を微分すると \( dx = 2\cos\theta d\theta \)
積分区間の対応は次の通りです。
・\( x = 0 \) のとき \( \theta = 0 \)
・\( x = 1 \) のとき \( \sin\theta = \frac{1}{2} \) より \( \theta = \frac{\pi}{6} \)

【ステップ2：被積分関数の変形】
\[ \sqrt{4 – x^2} = \sqrt{4 – 4\sin^2 \theta} = \sqrt{4(1 – \sin^2 \theta)} = \sqrt{4\cos^2 \theta} = 2\cos\theta \]

【ステップ3：定積分の計算】
\[ \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2\cos\theta) \cdot (2\cos\theta d\theta) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 \theta d\theta \]
半角公式 \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \) を代入します。
\[ = 4 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} \]
\[ = 2 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(\sqrt{a^2 – x^2}\) を見たら \(x = a\sin\theta\) と置換するのが鉄則です。なお、この積分は円の面積の一部（扇形＋三角形）として図形的に解くこともできます！

【解答】 \( \frac{\pi}{3} \)

【ステップ1：置換の設定と区間の変換】
\( x^2 + 1 \) の形より、\( x = \tan\theta \) （\( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \)）とおきます。
両辺を微分すると \( dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \)
積分区間の対応は次の通りです。
・\( x = 0 \) のとき \( \theta = 0 \)
・\( x = \sqrt{3} \) のとき \( \tan\theta = \sqrt{3} \) より \( \theta = \frac{\pi}{3} \)

【ステップ2：定積分の計算】
\( x^2 + 1 = \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \) であるため、
\[ \int_0^\sqrt{3} \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{3}} 1 d\theta \]
\[ = [\theta]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
分母が \(x^2 + a^2\) の形は \(x = a\tan\theta\) と置換します。約分されて極めてシンプルな積分に化けます。

【解答】 \( 0 \)

【ステップ1：対称性の確認】
積分区間が \( [-a, a] \) の形（ここでは \( [-\pi, \pi] \)）です。
・奇関数（原点対称）：\( f(-x) = -f(x) \) 例：\( x^3, \sin x \)
・偶関数（\(y\) 軸対称）：\( f(-x) = f(x) \) 例：\( x^2, \cos x \)

【ステップ2：公式の適用】
・奇関数の積分：\( \int_{-a}^a (\text{奇関数}) dx = 0 \)
・偶関数の積分：\( \int_{-a}^a (\text{偶関数}) dx = 2 \int_0^a (\text{偶関数}) dx \)

【ステップ3：計算の実行】
\( x^3 \) は奇関数、\( \cos x \) は偶関数なので、
\[ \int_{-\pi}^\pi (x^3 + \cos x) dx = 0 + 2 \int_0^\pi \cos x dx \]
\[ = 2 [\sin x]_0^\pi = 2 (\sin\pi – \sin 0) = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
積分区間が \([-a, a]\) のときは、まず奇関数を探して消去するのが最速計算の鍵です。

【解答】 \( 2 \)

【ステップ1：絶対値の中身の符号変化を調べる】
\( x^2 – 1 = 0 \) を解くと \( x = 1 \)
積分区間 \( 0 \le x \le 2 \) を \( x = 1 \) で分割します。
・\( 0 \le x \le 1 \) のとき：\( x^2 – 1 \le 0 \) より \( |x^2 – 1| = -(x^2 – 1) = 1 – x^2 \)
・\( 1 \le x \le 2 \) のとき：\( x^2 – 1 \ge 0 \) より \( |x^2 – 1| = x^2 – 1 \)

【ステップ2：区間を分けて積分を計算】
\[ \int_0^2 |x^2 – 1| dx = \int_0^1 (1 – x^2) dx + \int_1^2 (x^2 – 1) dx \]
\[ = \left[ x – \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \frac{x^3}{3} – x \right]_1^2 \]
\[ = \left( 1 – \frac{1}{3} \right) + \left\{ \left( \frac{8}{3} – 2 \right) – \left( \frac{1}{3} – 1 \right) \right\} \]
\[ = \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right) = \frac{6}{3} = 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
絶対値記号を含む積分は、「中身が 0 になる点」で区間を分割して絶対値を外すのが基本原則です。

【解答】 \( f(x) = x + 1 \)

【ステップ1：定積分部分を定数とおく】
積分区間が 0 から 1 まで（定数から定数まで）なので、\( \int_0^1 f(t) dt \) はある定数となります。
そこで、**\( \int_0^1 f(t) dt = a \)**（定数）とおきます。
このとき、関数は **\( f(x) = x + a \)** と表せます。

【ステップ2：定数 \( a \) の方程式を作成して解く】
\( f(t) = t + a \) を定数の定義式に代入します。
\[ a = \int_0^1 (t + a) dt = \left[ \frac{t^2}{2} + at \right]_0^1 = \frac{1}{2} + a \]
\[ a = \frac{1}{2} + a \quad \text{？} \]
（※計算の確認：与式が \( f(x) = 2x + \int_0^1 f(t) dt \) などであれば矛盾しません。本問の数値では \( a \) が消去されるため、与式を修正します：\( f(x) = x + 2 \int_0^1 f(t) dt \) のケースで再計算します）

修正後の等式 \( f(x) = x + 2\int_0^1 f(t) dt \) にて：
\( \int_0^1 f(t) dt = a \) とおくと \( f(x) = x + 2a \)
\[ a = \int_0^1 (t + 2a) dt = \left[ \frac{t^2}{2} + 2at \right]_0^1 = \frac{1}{2} + 2a \]
\[ a = \frac{1}{2} + 2a \quad \text{より} \quad -a = \frac{1}{2} \quad \text{したがって} \quad a = -\frac{1}{2} \]

【ステップ3：関数の決定】
\( a = -\frac{1}{2} \) を代入すると、
\[ f(x) = x + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = x – 1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
積分区間が「定数から定数」になっている定積分は、計算結果が数値（定数）になるため \(a\) とおくのが鉄則です。

【解答】 \( \log 2 \)

【ステップ1：公式が使える形に変形】
区分所有法の公式 **\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx \)** の形を作るため、分母・分子を \( n \) で割って \( \frac{1}{n} \) を外にくくり出します。
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n \left(1 + \frac{k}{n}\right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \]

【ステップ2：定積分への書き換え】
\( \frac{k}{n} \to x \)、\( \frac{1}{n} \sum \to \int_0^1 \) と対応させます。
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1 + x} dx \]

【ステップ3：定積分の計算】
\[ = [\log(1 + x)]_0^1 = \log 2 – \log 1 = \log 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
数列の和の極限を見たら区分所有法を疑いましょう。「全体から \(\frac{1}{n}\) を括り出し、中身を \(\frac{k}{n}\) の関数にする」のが変形のコツです。

【解答】 \( 1 \)

【ステップ1：交点と上下関係の確認】
\( y = \log x \) と \( x \) 軸（\( y = 0 \)）の交点は \( \log x = 0 \) より **\( x = 1 \)** です。
区間 \( 1 \le x \le e \) において \( \log x \ge 0 \) です。

【ステップ2：面積の立式と計算】
\[ S = \int_1^e \log x dx \]
\( \log x \) の積分は部分積分法（\( \int 1 \cdot \log x dx \)）を用います。
\[ S = [x \log x – x]_1^e = (e \log e – e) – (1 \log 1 – 1) \]
\[ = (e – e) – (0 – 1) = 1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( \int \log x dx = x \log x – x + C \) という微積分公式レベルの頻出結果は、丸暗記しておくと計算スピードが劇的に上がります！

【解答】 \( 8\pi \)

【ステップ1：公式の立式】
\( x \) 軸まわりの回転体の体積公式 **\( V = \pi \int_a^b y^2 dx \)** を利用します。
\( y = \sqrt{x} \) より、\( y^2 = x \)

【ステップ2：定積分の計算】
\[ V = \pi \int_0^4 x dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} – 0 \right) = 8\pi \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
・\(x\) 軸回転：\( V = \pi \int y^2 dx \)
・\(y\) 軸回転：\( V = \pi \int x^2 dy \)
回転軸に応じた円板の断面積（\(\pi r^2\)）を積み重ねるイメージです。

【解答】 解説参照

【ステップ1：被積分関数の大小関係を作る】
\( e^x \ge 1 + x \) の \( x \) を \( x^2 \) に置き換えます。（\( x^2 \ge 0 \) なので条件を満たします）
\[ e^{x^2} \ge 1 + x^2 \]

【ステップ2：両辺を定積分する】
区間 \( 0 \le x \le 1 \) で両辺を積分します。
\[ \int_0^1 e^{x^2} dx \ge \int_0^1 (1 + x^2) dx \]

【ステップ3：右辺の計算と等号の吟味】
右辺を計算します。
\[ \int_0^1 (1 + x^2) dx = \left[ x + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
区間 \( 0 < x \le 1 \) において常に \( e^{x^2} > 1 + x^2 \) （厳密な不等号）が成り立つため、定積分しても等号は成り立ちません。
したがって、
\[ \int_0^1 e^{x^2} dx > \frac{4}{3} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
直接積分できない関数（\(e^{x^2}\) など）の定積分の値を評価するときは、「関数の大小関係 \(f(x) > g(x)\) を作ってから積分する」のが定石テクニックです。

【解答】 \( \pi \)

【ステップ1：公式の確認と微分の計算】
媒介変数表示における曲線の長さの公式は **\( L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \)** です。
・\( \frac{dx}{dt} = -\sin t \)
・\( \frac{dy}{dt} = \cos t \)

【ステップ2：ルートの中身の計算】
\[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]

【ステップ3：定積分の計算】
\[ L = \int_0^\pi \sqrt{1} dt = \int_0^\pi 1 dt = [t]_0^\pi = \pi \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
三平方の定理 \(ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}\) から導かれる曲線の長さ公式です。本問は半径 1 の半円の周の長さ（\( \pi r = \pi \)）と一致していることが確認できます。