【数列】基本問題一覧〜一問一答式（高校数学B）〜

【解答】 \(a_n = 4n – 1\)

【解説】
初項 \(a\)、公差 \(d\) の等差数列の一般項は \(a_n = a + (n-1)d\) です。
\[a_n = 3 + (n-1) \times 4 = 4n – 1\]

【解答】 \(a_n = 3n + 2\)

【解説】
初項を \(a\)、公差を \(d\) とおくと、
\(a_3 = a + 2d = 11\)
\(a_7 = a + 6d = 23\)
引き算すると \(4d = 12\) より \(d = 3\)。\(a = 5\) となるので、
\[a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\]

【解答】 \(S_n = \frac{1}{2}n(3n + 7)\)

【解説】
等差数列の和の公式 \(S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}\) を利用します。
\[S_n = \frac{1}{2}n\{2 \times 5 + (n-1) \times 3\} = \frac{1}{2}n(3n + 7)\]

【解答】 \(155\)

【解説】
初項 \(a\)、末項 \(l\)、項数 \(n\) の等差数列の和は \(S = \frac{1}{2}n(a + l)\) です。
\[S = \frac{1}{2} \times 10 \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155\]

【解答】 \(x = 6\)

【解説】
等差中項の性質 \(2x = a + b\) を用います。
\[2x = 2 + 10\]
したがって \(2x = 12\) より \(x = 6\) となります。

【解答】 \(a_n = 2n + 1\)

【解説】
\(a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3\)。
\(n \ge 2\) のとき、\(a_n = S_n – S_{n-1}\) より
\[a_n = (n^2 + 2n) – \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1\]
\(n = 1\) のときも \(a_1 = 2(1) + 1 = 3\) で成り立ちます。

【解答】 \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\)

【解説】
初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の一般項は \(a_n = a r^{n-1}\) です。
\[a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\]

【解答】 \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\)

【解説】
初項 \(a\)、公比 \(r\) とおくと \(a_2 = ar = 6\)、\(a_5 = ar^4 = 48\)。
割り算すると \(r^3 = 8\) より \(r = 2\)。\(a = 3\) となるため、
\[a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\]

【解答】 \(S_n = 3(2^n – 1)\)

【解説】
等比数列の和の公式 \(S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}\) （\(r > 1\)）を利用します。
\[S_n = \frac{3(2^n – 1)}{2 – 1} = 3(2^n – 1)\]

【解答】 \(S_n = 10 \left\{ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\}\)

【解説】
公比が \(1\) より小さい場合の公式 \(S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}\) を利用します。
\[S_n = \frac{5 \left\{ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\}}{1 – \frac{1}{2}} = 10 \left\{ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\}\]

【解答】 \(x = 6\)

【解説】
等比中項の性質 \(x^2 = ab\) を用います。
\[x^2 = 3 \times 12 = 36\]
\(x > 0\) より \(x = 6\) となります。

【解答】 \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)\)、\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

【解説】
どちらも和の計算において頻出となる基本公式です。

【解答】 \(\frac{1}{2}n(3n – 1)\)

【解説】
\(\sum\) の性質を用いて分解します。
\[\sum_{k=1}^{n} (3k – 2) = 3 \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 2 = 3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) – 2n = \frac{1}{2}n(3n – 1)\]

【解答】 \(\frac{1}{3}(4^n – 1)\)

【解説】
初項 \(1\)、公比 \(4\)、項数 \(n\) の等比数列の和を表しています。
\[\sum_{k=1}^{n} 4^{k-1} = \frac{1(4^n – 1)}{4 – 1} = \frac{1}{3}(4^n – 1)\]

【解答】 \(\frac{n}{n+1}\)

【解説】
部分分数分解 \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\) を利用します。
\[S = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]

【解答】 \(15\)

【解説】
定数 \(3\) を \(5\) 回加算するため、\(3 \times 5 = 15\) となります。

【解答】 \(b_n = 2n + 1\)

【解説】
各項の差をとると \(3, 5, 7, 9, \dots\) となり、初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列です。
\[b_n = 3 + (n-1) \times 2 = 2n + 1\]

【解答】 \(a_n = n^2 – n + 1\)

【解説】
\(n \ge 2\) のとき、\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\) より
\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n = n^2 – n + 1\]
これは \(n = 1\) のときも成り立ちます。

【解答】 \(a_n = 3n – 1\)

【解説】
\(a_{n+1} – a_n = 3\) より、初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列型です。
\[a_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n – 1\]

【解答】 \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1}\) （または \(2^{n+1}\)）

【解説】
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2\) より、初項 \(4\)、公比 \(2\) の等比数列型です。
\[a_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}\]

【解答】 \(a_n = n^2 – n + 1\)

【解説】
階差数列が \(b_n = 2n\) のパターンです。
\(n \ge 2\) のとき、\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + (n-1)n = n^2 – n + 1\)。
これは \(n = 1\) のときも成り立ちます。

【解答】 \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1} – 1\)

【解説】
特性方程式 \(\alpha = 3\alpha + 2\) を解くと \(\alpha = -1\)。
漸化式は \(a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)\) と変形できます。
数列 \(\{a_n + 1\}\) は初項 \(a_1 + 1 = 2\)、公比 \(3\) の等比数列なので、
\[a_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}\]
したがって、
\[a_n = 2 \cdot 3^{n-1} – 1\]

【解答】 \(1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{1}{2}(k+1)(k+2)\)

【解説】
数学的帰納法では、\(n=k\) で成立すると仮定した式 \(1 + \dots + k = \frac{1}{2}k(k+1)\) の両辺に \((k+1)\) を加えて計算し、\(n=k+1\) のときの成立を示します。