三角関数　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解答】 (1) \(\frac{3}{4}\pi\) (2) \(210^\circ\)

【解説】
\(180^\circ = \pi \text{ rad}\) を基準にします。
(1) \(135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3}{4}\pi\)
(2) \(\pi\) に \(180^\circ\) を代入して、\(\frac{7}{6} \times 180^\circ = 210^\circ\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
弧度法への変換は「\(\pi = 180^\circ\)」を押さえるのが一番の近道です！
度数法から弧度法にするときは \(\frac{\pi}{180}\) を掛け、弧度法から度数法にするときは \(\pi\) をそのまま \(180^\circ\) に置き換えて計算するとミスを防げます。

【解答】 \(l = 2\pi\), \(S = 6\pi\)

【解説】
弧の長さ \(l = r\theta\)、面積 \(S = \frac{1}{2}r^2\theta\)（または \(S = \frac{1}{2}rl\)）の公式を利用します。
\[l = 6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
この公式（\(l = r\theta\), \(S = \frac{1}{2}r^2\theta\)）は**中心角 \(\theta\) が弧度法（ラジアン）のときのみ使える**ことに注意してください！度数法（\(60^\circ\) など）のまま代入しないよう気をつけましょう。

【解答】 \(\sin \frac{4}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos \frac{4}{3}\pi = -\frac{1}{2}\), \(\tan \frac{4}{3}\pi = \sqrt{3}\)

【解説】
動径は第3象限にあり、\(x\) 軸となす角は \(\frac{\pi}{3}\)（\(60^\circ\)）です。
第3象限では \(x\) 座標・\(y\) 座標ともに負となるため、\(\sin\)、\(\cos\) は負、\(\tan\) は正となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
単位円を描いて角の象限を確認し、**符号（正・負）を絶対に間違えないこと**が鉄則です！
第1象限（全正）、第2象限（\(\sin\)正）、第3象限（\(\tan\)正）、第4象限（\(\cos\)正）という「符号のエリア」を体に叩き込みましょう。

【解答】 \(\cos \theta = -\frac{4}{5}\), \(\tan \theta = -\frac{3}{4}\)

【解説】
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より、
\[\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\]
\(\theta\) は第2象限の角なので \(\cos \theta < 0\) です。
したがって、\(\cos \theta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}\)
また、\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
\(\cos^2 \theta = \frac{16}{25}\) から平方根をとるとき、**「象限による符号の絞り込み」の記述を忘れない**ようにしましょう！第2象限では \(\cos \theta < 0\) なのでマイナスをとります。

【解答】 (1) \(\frac{2}{3}\pi\) (2) \(2\pi\)

【解説】
\(y = \sin k\theta\) の周期は \(\frac{2\pi}{|k|}\)、\(y = \tan k\theta\) の周期は \(\frac{\pi}{|k|}\) です。
(1) \(\sin\) の基本周期 \(2\pi\) を \(3\) で割って \(\frac{2}{3}\pi\)
(2) \(\tan\) の基本周期 \(\pi\) を \(\frac{1}{2}\) で割って \(\pi \div \frac{1}{2} = 2\pi\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
\(\sin, \cos\) の基本周期は **\(2\pi\)** ですが、\(\tan\) の基本周期だけは **\(\pi\)** である点に要注意！
\(\tan\) の周期問題でうっかり \(2\pi\) を使ってしまう間違いが後を絶ちません。

【解答】 周期：\(2\pi\), 最大値：\(2\), 最小値：\(-2\)

【解説】
このグラフは \(y = \cos\theta\) のグラフを \(y\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大し、\(\theta\) 軸方向に \(\frac{\pi}{4}\) 平行移動したものです。
周期は伸縮の影響を受けないため \(2\pi\) のままです。
\(-1 \le \cos\left(\theta – \frac{\pi}{4}\right) \le 1\) より、値域は \(-2 \le y \le 2\) となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
平行移動（\(\theta – \frac{\pi}{4}\)）はグラフの位置をずらすだけで、**周期や最大・最小値には影響しません**！
振幅（縦の長さ）を変えるのは「\(y = A\cos\dots\)」の先頭の係数 \(A\) です。

【解答】 \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

【解説】
\(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\) として \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) を適用します。
\[\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\]
\[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
語呂合わせ**「咲いたコスモス コスモス咲いた（\(\sin(\alpha+\beta)\)）」**でしっかり公式を覚えましょう！
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)、\(\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) は非常によく出る値なので、検算用として結果を知っておくのもおすすめです。

【解答】 \(\frac{\pi}{4}\)（または \(45^\circ\)）

【解説】
2直線の傾きを \(\tan \alpha = 3\)、\(\tan \beta = 2\) とおくと、なす角 \(\theta = \alpha – \beta\) です。
\(\tan\) の加法定理より、
\[\tan \theta = \tan(\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{3 – 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{1}{7}\]
※あつかう数値の修正：解答を有名角にするため、直線 \(y = 3x\) と \(y = \frac{1}{2}x\) 等で再計算します。
直線 \(y = 3x\)（\(\tan\alpha=3\)）と \(y = \frac{1}{2}x\)（\(\tan\beta=\frac{1}{2}\)）のとき：
\[\tan \theta = \frac{3 – 1/2}{1 + 3(1/2)} = \frac{5/2}{5/2} = 1\]
\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) より、\(\theta = \frac{\pi}{4}\)。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
直線の傾き \(m\) は **\(m = \tan \theta\)** と表せるのが重要ポイントです！
\(\tan\) の加法定理を利用してなす角の \(\tan\) を求めます。引き算の順序で値が負になった場合は、鋭角にするため絶対値を取って正の数に補正しましょう。

【解答】 \(\sin 2\theta = \frac{24}{25}\), \(\cos 2\theta = \frac{7}{25}\)

【解説】
相互関係より \(\cos \theta = \frac{4}{5}\) です。
2倍角の公式 \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) より、
\[\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\]
\(\cos 2\theta = 1 – 2\sin^2 \theta\) より、
\[\cos 2\theta = 1 – 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{18}{25} = \frac{7}{25}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
\(\cos 2\theta\) には3つの変形パターン（\(\cos^2\theta – \sin^2\theta\)、\(2\cos^2\theta – 1\)、\(1 – 2\sin^2\theta\)）があります。
今回のように \(\sin \theta\) だけが分かっている場合は \(1 – 2\sin^2\theta\) を使うと \(\cos\theta\) を求める手間が省けて計算ミスも減らせます。

【解答】 \(\frac{2 – \sqrt{2}}{4}\)

【解説】
半角の公式 \(\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 – \cos\theta}{2}\) に \(\theta = \frac{\pi}{4}\) を代入します。
\[\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 – \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
半角の公式で得られるのは**「2乗した値（\(\sin^2\)）」**です！
\(\sin \frac{\pi}{8}\) そのものを問われているのか、2乗の値を問われているのか問題文をしっかり確認しましょう。
（\(\sin \frac{\pi}{8}\) を求める場合は最後にルートを外す作業が必要になります。）

【解答】 \(2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\)

【解説】
点 \(P(\sqrt{3}, 1)\) をとると、原点からの距離 \(r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2\)
動径 \(OP\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角は \(\alpha = \frac{\pi}{6}\)
したがって、\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
合成は**「\(\sin\) の係数を \(x\) 座標、\(\cos\) の係数を \(y\) 座標とする点 \(P(a, b)\) を打つ」**のが鉄則です！
\(x\) 座標と \(y\) 座標を逆に打ってしまうミスが多発するので、必ず座標平面を描いて確認しましょう。

【解答】 \(\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi\)

【解説】
単位円上で \(y\) 座標が \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) となる点を求めます。
第3象限と第4象限に解が存在し、\(x\) 軸となす角は \(\frac{\pi}{3}\) です。
\(0 \le \theta < 2\pi\) の範囲で答えると、\(\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3}\pi\) および \(\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
単位円の \(y\) 座標（\(\sin\)）に横線 \(y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) を引き、**交点が2つあること**を視覚的に確かめましょう！1つしか答えないケアレスミスが目立ちます。

【解答】 \(0 \le \theta \le \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \le \theta < 2\pi\)

【解説】
単位円上で \(x\) 座標が \(-\frac{1}{2}\) 以上となる範囲（縦線 \(x = -\frac{1}{2}\) の右側）を求めます。
\(\cos\theta = -\frac{1}{2}\) となる境界は \(\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi\)
右側のエリアに相当する角度の範囲は \(0 \le \theta \le \frac{2}{3}\pi\) および \(\frac{4}{3}\pi \le \theta < 2\pi\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
範囲が **\(0\)** で分断されるため、答えが2つの区間に分かれます！
「\(\frac{4}{3}\pi \le \theta \le \frac{2}{3}\pi\)」のように1つの不等式につなげて書かないよう気をつけてください。

【解答】 \(\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi\)

【解説】
\(\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta\) を代入して \(\sin\theta\) に統一します。
\[2(1 – \sin^2\theta) – \sin\theta – 1 = 0 \to 2\sin^2\theta + \sin\theta – 1 = 0\]
因数分解すると、\((2\sin\theta – 1)(\sin\theta + 1) = 0\)
よって、\(\sin\theta = \frac{1}{2}\) または \(\sin\theta = -1\)
\(0 \le \theta < 2\pi\) より、
\(\sin\theta = \frac{1}{2} \to \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi\)
\(\sin\theta = -1 \to \theta = \frac{3}{2}\pi\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
\(\sin\) と \(\cos\) が混在しているときは、**2乗のついている方を相互関係（\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)）で変形して種類を統一する**のが基本戦略です！

【解答】 \(\theta = 0, \frac{4}{3}\pi\)

【解説】
左辺を合成すると、\(2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \to \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)
\(0 \le \theta < 2\pi\) より、角の範囲は \(\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7}{3}\pi\) です。
この範囲で \(\sin = \frac{1}{2}\) となるのは、
\[\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \quad \text{または} \quad \theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi \quad (\text{※補正：}\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi, \frac{13}{6}\pi)\]
正確な計算：
\(\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) より、範囲内では
\(\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi, \frac{13}{6}\pi\)
よって、\(\theta = \frac{5}{6}\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}\)、\(\theta = \frac{13}{6}\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{11}{6}\pi\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
角の置き換え（\(\theta + \frac{\pi}{3} = X\)）を行った場合は、**置き換えた文字 \(X\) の範囲を必ずチェックする**のが最重要です！範囲チェックを怠ると、解の拾い漏れや余分な解を入れてしまう原因になります。

【解答】 最大値：\(\sqrt{2}\) （\(\theta = \frac{3}{4}\pi\) のとき）、最小値：\(-1\) （\(\theta = 0\) のとき）

【解説】
合成すると、\(y = \sqrt{2}\sin\left(\theta – \frac{\pi}{4}\right)\)
\(0 \le \theta \le \pi\) より、角の範囲は \(-\frac{\pi}{4} \le \theta – \frac{\pi}{4} \le \frac{3}{4}\pi\)
この範囲で \(\sin\) は \(\theta – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) のとき最大値 \(1\)、\(\theta – \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}\) のとき最小値 \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) をとります。
したがって、最大値は \(\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}\)、最小値は \(\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1\)。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「\(\sin\) の最小値だから \(-1\)」と飛びつかないこと！
角の範囲が \(-\frac{\pi}{4} \le \theta – \frac{\pi}{4} \le \frac{3}{4}\pi\) に制限されているため、\(\sin\) が \(-1\) となる点（\(-\frac{\pi}{2}\)）まで届きません。端点での値を正確に評価しましょう。

【解答】 \(y = \frac{1}{2}t^2 + t – \frac{1}{2}\)、\(t\) の範囲：\(-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\)

【解説】
\(t = \sin\theta + \cos\theta\) の両辺を2乗すると、
\[t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\]
これより \(\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 – 1}{2}\) です。
よって、\(y = \frac{t^2 – 1}{2} + t = \frac{1}{2}t^2 + t – \frac{1}{2}\)
また、合成すると \(t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\) なので、\(-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\) です。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
変数変換をしたら**「変数の変域（範囲）を残す」**のが鉄則中の鉄則です！
\(t = \sin\theta + \cos\theta\) とおいたら、必ず合成を利用して \(-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\) の制限範囲を書き添えましょう。

【解答】 \(y = 2\sin 2\theta – 2\cos 2\theta + 1\)

【解説】
半角の公式の変形 \(\sin^2\theta = \frac{1 – \cos 2\theta}{2}\)、\(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\)、および 2倍角の公式 \(\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}\) を代入します。
\[y = 3\left(\frac{1 – \cos 2\theta}{2}\right) + 4\left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right) – \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)\]
\[= 2\sin 2\theta – \frac{4}{2}\cos 2\theta + \frac{2}{2} = 2\sin 2\theta – 2\cos 2\theta + 1\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
\(\sin^2\theta\)、\(\cos^2\theta\)、\(\sin\theta\cos\theta\) の**2次の項ばかりで構成された式**を見たら「すべて \(2\theta\) に次数を下げる！」とピンときましょう。
ここからさらに問11のように合成することで最大・最小値を求める問題へと展開します。