ベクトル　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学C）〜

【解答】 \( \vec{x} = \frac{6}{5}\vec{a} – \frac{6}{5}\vec{b} \)

【解説】
カッコを外し、\(\vec{x}\) について整理します。
\[ 3\vec{x} – 6\vec{a} + 2\vec{x} + 6\vec{b} = \vec{0} \]
\[ 5\vec{x} – 6\vec{a} + 6\vec{b} = \vec{0} \]
\[ 5\vec{x} = 6\vec{a} – 6\vec{b} \]
両辺を 5 で割ります。
\[ \vec{x} = \frac{6}{5}\vec{a} – \frac{6}{5}\vec{b} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
ベクトルの加法・減法・実数倍は、文字式と同じ感覚でまとめて移項できます！

【解答】 成分：\( (5, 3) \)、大きさ：\( \sqrt{34} \)

【解説】
1. 成分の計算：
\[ \vec{a} + 2\vec{b} = (3, -1) + 2(1, 2) = (3 + 2, -1 + 4) = (5, 3) \]
2. 大きさの計算：
\[ |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
成分の大きさは「三平方の定理」そのものです。\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \) をしっかり覚えましょう。

【解答】 内積：\( 5 \)、成す角：\( \theta = 45^\circ \)

【解説】
1. 内積の成分計算：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5 \]
2. 各ベクトルの大きさ：
\[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \]
3. 成す角 \(\theta\) の計算：
\[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\( 0^\circ \le \theta \le 180^\circ \) より、\( \theta = 45^\circ \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
内積には「成分の掛け算の和」と「\(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)」の2通りの表し方があります。この2つを等しいとおくことで角 \(\theta\) が求まります！

【解答】 \( x = 9 \)

【解説】
2つのゼロでないベクトルが垂直である条件は **「内積が 0」** です。
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
成分を代入すると、
\[ x \cdot 2 + 6 \cdot (-3) = 0 \]
\[ 2x – 18 = 0 \]
\[ 2x = 18 \]
したがって、\( x = 9 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「垂直 \(\iff\) 内積が0」はベクトルの最頻出公式です。反射的に使えるようにしておきましょう。

【解答】 \( \vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} \)、\( \vec{q} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2} \)

【解説】
1. 内分点の公式：
\[ \vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}}{2 + 1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} \]
2. 外分点の公式（\( 3 : -1 \) に内分すると考える）：
\[ \vec{q} = \frac{-1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}}{3 – 1} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
分点公式は「クロスに掛ける」のがポイントです！外分は一方の比にマイナスをつけて計算しましょう。

【解答】 \( \vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b} \)

【解説】
1. 点 P は線分 AD 上にあるので、\( AP : PD = s : (1-s) \) とおくと、
\[ \vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s \vec{OD} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s \vec{b} \quad \cdots \text{①} \]
2. また、点 P は線分 BC 上にあるので、\( BP : PC = t : (1-t) \) とおくと、
\[ \vec{OP} = t \vec{OC} + (1-t)\vec{b} = \frac{2}{3}t \vec{a} + (1-t)\vec{b} \quad \cdots \text{②} \]
3. \(\vec{a} \ne \vec{0}, \vec{b} \ne \vec{0}\) で \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は平行でないため、①と②の係数を比較します。
・\( 1 – s = \frac{2}{3}t \)
・\( \frac{3}{5}s = 1 – t \)
この連立方程式を解くと、\( s = \frac{5}{8}, t = \frac{5}{8} \)
4. ①に代入して整理すると、
\[ \vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「2通りの内分比（\(s : 1-s\) と \(t : 1-t\)）で表して係数比較する」のは、平面ベクトルの最重要解法パターンです！

【解答】 \( 2x + 3y – 14 = 0 \)

【解説】
1. 直線上の点を P\((x, y)\) とすると、ベクトル方程式は \( \vec{p} = \vec{a} + t\vec{u} \) と表せます。
2. 成分で表すと、
\[ (x, y) = (1, 4) + t(3, -2) = (1 + 3t, 4 – 2t) \]
3. 媒介変数 \( t \) を消去します。
\( x = 1 + 3t \) より、\( 3t = x – 1 \)
\( y = 4 – 2t \) より、\( 2t = 4 – y \)
\( t \) について整理して等しいとおくと、
\[ \frac{x – 1}{3} = \frac{4 – y}{2} \]
両辺に 6 を掛けて整理します。
\[ 2(x – 1) = 3(4 – y) \]
\[ 2x + 3y – 14 = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
方向ベクトル \(\vec{u}\) が与えられた直線は、媒介変数 \(t\) を用いて成分で表してから \(t\) を消去すれば通常の \(x, y\) の直線方程式になります。

【解答】 \( (\vec{p} – \vec{a}) \cdot (\vec{p} – \vec{b}) = 0 \)

【解説】
円上の任意の点を P(\(\vec{p}\)) とします。
1. P が A, B 以外の点にあるとき、直径に対する円周角は \( 90^\circ \) なので、\( \angle\text{APB} = 90^\circ \) となります。
2. したがって、\( \vec{AP} \perp \vec{BP} \) より、内積は 0 です。
\[ \vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0 \]
3. 始点を原点 O に揃えると、\( \vec{AP} = \vec{p} – \vec{a} \)、\( \vec{BP} = \vec{p} – \vec{b} \) となるので、
\[ (\vec{p} – \vec{a}) \cdot (\vec{p} – \vec{b}) = 0 \]
（※ P が A または B と一致するときもこの式は成り立ちます）

👨‍🏫 教員のアドバイス
「中心 C, 半径 \(r\) の円 \(\iff |\vec{p} – \vec{c}| = r\)」「AB が直径の円 \(\iff (\vec{p} – \vec{a}) \cdot (\vec{p} – \vec{b}) = 0\)」の2つは円の重要公式です。

【解答】 内積：\( -4 \)、成す角：\( \cos\theta = -\frac{4}{9} \)

【解説】
1. 空間の内積成分計算（\(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)）：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = -2 + 2 – 4 = -4 \]
2. 各ベクトルの大きさ：
\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \]
\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \]
3. 成す角のコサイン：
\[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
空間になっても成分が \( z \) 軸の1つ増えるだけです！内積や大きさの計算手順は平面とまったく同じです。

【解答】 \( y = 8, z = -3 \)

【解説】
1. 3点が同一直線上にある条件は **\( \vec{AC} = k \vec{AB} \)** （\( k \) は実数）となることです。
2. 各成分を求めます。
・\( \vec{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2) \)
・\( \vec{AC} = (7-1, y-2, z-3) = (6, y-2, z-3) \)
3. \( \vec{AC} = k \vec{AB} \) に代入します。
\[ (6, y-2, z-3) = k(2, 2, -2) = (2k, 2k, -2k) \]
\( x \) 成分を比較すると、\( 6 = 2k \) より \( k = 3 \) と定まります。
4. \( y, z \) 成分に \( k = 3 \) を代入します。
・\( y – 2 = 2(3) = 6 \) より、\( y = 8 \)
・\( z – 3 = -2(3) = -6 \) より、\( z = -3 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「共線条件 \(\iff \vec{AC} = k\vec{AB}\)」は平面でも空間でも共通の超基本ルールです。

【解答】 \( z = -6 \)

【解説】
1. 点 P が平面 ABC 上にある条件（共面条件）は **\( \vec{AP} = s \vec{AB} + t \vec{AC} \)** （\( s, t \) は実数）と表せることです。
2. 各ベクトルを求めます。
・\( \vec{AB} = (-1, 2, 0) \)
・\( \vec{AC} = (-1, 0, 3) \)
・\( \vec{AP} = (1, 2, z) \)
3. 代入して成分比較します。
\[ (1, 2, z) = s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, 3) = (-s – t, 2s, 3t) \]
・\( y \) 成分：\( 2 = 2s \) より、\( s = 1 \)
・\( x \) 成分：\( 1 = -s – t \) に代入して \( 1 = -1 – t \) より、\( t = -2 \)
・\( z \) 成分：\( z = 3t \) に代入して、\( z = 3(-2) = -6 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「共面条件 \(\iff \vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}\)」は、空間ベクトルで最も差がつく応用問題の一つです！

【解答】 ベクトル方程式：\( |\vec{p} – \vec{c}| = 3 \)、方程式：\( (x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 9 \)

【解説】
1. 半径 \( r \) は線分 CA の長さ（大きさ）です。
\[ r = |\vec{CA}| = \sqrt{(4 – 2)^2 + (1 – (-1))^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 \]
2. 中心 C(\(\vec{c}\))、半径 3 の球面のベクトル方程式は、
\[ |\vec{p} – \vec{c}| = 3 \]
3. これを成分表示（\( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2 \)）に直すと、
\[ (x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 9 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
平面の円（\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)）に \( z \) 成分が加わった形が「球面の方程式」です。