関数　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学III）〜

【解答】 漸近線：\( x = 1 \), \( y = 2 \)

【解説】
1. 式を \( y = \frac{k}{x – p} + q \) の形に変形（帯分数化）します。
\[ y = \frac{2(x – 1) + 3}{x – 1} = \frac{3}{x – 1} + 2 \]
2. 漸近線は、分母が 0 になる \( x = 1 \) と、定数項の \( y = 2 \) です。
3. グラフは、反比例 \( y = \frac{3}{x} \) のグラフを \( x \) 軸方向に 1、\( y \) 軸方向に 2 だけ平行移動した双曲線となります（\( y \) 軸との交点は \( (0, -1) \)）。

👨‍🏫 教員のアドバイス
分子の次数を分母より小さく変形するのが第一歩です！漸近線と \( y \) 軸との交点（\( x=0 \) のときの値）を明記してグラフを描きましょう。

【解答】 \( x = 0, 3 \)

【解説】
1. 分母が 0 でない条件（\( x \ne -1 \)）を確認します。
2. 両辺に分母 \( x + 1 \) を掛けます。
\[ 2x – 1 = (x – 1)(x + 1) \]
\[ 2x – 1 = x^2 – 1 \]
3. 移項して整理します。
\[ x^2 – 2x = 0 \]
\[ x(x – 2) = 0 \]
解は \( x = 0, 2 \) となり、これらは \( x \ne -1 \) を満たします。
（※計算の再確認：\( 2x – 1 = x^2 – 1 \) より \( x^2 – 2x = 0 \) なので \( x = 0, 2 \)）

👨‍🏫 教員のアドバイス
両辺に分母を掛ける前に、必ず「分母 \(\ne 0\)」の条件を意識しておきましょう。

【解答】 \( -1 \le x < 1, \quad 2 \le x \)

【解説】
【解法1：グラフによる視覚的解法（推奨）】
1. 左辺の曲線 \( y = \frac{x + 2}{x – 1} = \frac{3}{x – 1} + 1 \) と、右辺の直線 \( y = x \) のグラフを描きます。
2. 2式の交点の \( x \) 座標を求めます。
\[ \frac{x + 2}{x – 1} = x \quad (x \ne 1) \]
\[ x + 2 = x(x – 1) \]
\[ x^2 – 2x – 2 = 0 \quad \text{より} \quad x = -1, 2 \]
3. 曲線が直線の下側（または交わっている）にある \( x \) の範囲をグラフから読み取ると、\( -1 \le x < 1 \) および \( 2 \le x \) となります（\( x = 1 \) は漸近線のため含まれません）。

👨‍🏫 教員のアドバイス
分数不等式で両辺に \( x-1 \) を掛けると、符号による場合分けが必要でミスが多発します。「グラフを描いて位置関係を見る」のが最も安全確実です！

【解答】 定義域：\( x \ge 2 \)、値域：\( y \ge 1 \)

【解説】
1. 根号（ルート）の中身は 0 以上でなければならないので、定義域は
\[ 2x – 4 \ge 0 \]
\[ 2x \ge 4 \]
\[ x \ge 2 \]
2. 根号の値 \( \sqrt{2x – 4} \ge 0 \) より、\( y = \sqrt{2x – 4} + 1 \ge 1 \) となるため、値域は \( y \ge 1 \) です。
3. グラフは、\( y = \sqrt{2x} \) のグラフの出発点 \( (0, 0) \) を \( (2, 1) \) へ平行移動した放物線の半分となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
無理関数は「ルートの中身 \(\ge 0\)」から定義域を出すのがスタート地点です。

【解答】 \( x = 2 \)

【解説】
1. 左辺が根号のため、右辺も 0 以上でなければなりません（\( x \ge 0 \) ）。また根号内条件より \( x \ge -2 \) なので、全体の条件は **\( x \ge 0 \)** です。
2. 両辺を 2 乗します。
\[ x + 2 = x^2 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x – 2)(x + 1) = 0 \]
解は \( x = 2, -1 \) となります。
3. 条件 \( x \ge 0 \) を満たすものは \( x = 2 \) のみです。（\( x = -1 \) は無関係解）

👨‍🏫 教員のアドバイス
両辺を2乗すると無関係な解（適さない解）が混ざることがあります。得られた解を元の式に代入して確かめる癖をつけましょう！

【解答】 \( -\frac{3}{2} \le x < 3 \)

【解説】
1. 根号内条件より、\( 2x + 3 \ge 0 \) つまり **\( x \ge -\frac{3}{2} \)** です。
2. \( y = \sqrt{2x + 3} \) と \( y = x \) のグラフを描いて位置関係を考えます。
3. 2曲線の交点を求めるため、\( \sqrt{2x + 3} = x \) を解きます。
（\( x \ge 0 \) のもとで両辺2乗）
\[ 2x + 3 = x^2 \]
\[ x^2 – 2x – 3 = 0 \]
\[ (x – 3)(x + 1) = 0 \]
\( x \ge 0 \) より、交点の \( x \) 座標は \( x = 3 \) です。
4. グラフより、曲線 \( y = \sqrt{2x + 3} \) が直線 \( y = x \) より上側にある \( x \) の範囲は、定義域の端点から交点までの **\( -\frac{3}{2} \le x < 3 \)** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
無理不等式もグラフを利用するのがベストです。ルートの定義域のスタート位置（\( x = -\frac{3}{2} \)）を忘れずに含めるのが最大のポイントです。

【解答】 \( (f \circ g)(x) = \frac{2}{(x – 2)^2} – 1 \)、\( (g \circ f)(x) = \frac{1}{2x^2 – 3} \)

【解説】
1. \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) の計算：
\( f(x) \) の \( x \) に \( g(x) = \frac{1}{x – 2} \) を代入します。
\[ f(g(x)) = 2\left(\frac{1}{x – 2}\right)^2 – 1 = \frac{2}{(x – 2)^2} – 1 \quad (x \ne 2) \]
2. \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) の計算：
\( g(x) \) の \( x \) に \( f(x) = 2x^2 – 1 \) を代入します。
\[ g(f(x)) = \frac{1}{(2x^2 – 1) – 2} = \frac{1}{2x^2 – 3} \quad \left(x \ne \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( (f \circ g)(x) \) は「まず \( g \) を適用してから \( f \) を適用する」意味です。代入の順番を間違えないようにしましょう。

【解答】 \( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \quad (x \ne 3) \)

【解説】
1. 元の関数の定義域は \( x \ne 2 \)、値域は \( y \ne 3 \) です。
2. 与えられた式を \( x \) について解きます。
両辺に \( x – 2 \) を掛けます。
\[ y(x – 2) = 3x + 1 \]
\[ xy – 2y = 3x + 1 \]
\( x \) を含む項を左辺に集めます。
\[ xy – 3x = 2y + 1 \]
\[ x(y – 3) = 2y + 1 \]
\( y \ne 3 \) より、両辺を \( y – 3 \) で割ります。
\[ x = \frac{2y + 1}{y – 3} \]
3. \( x \) と \( y \) を入れ替えます。
\[ y = \frac{2x + 1}{x – 3} \quad (x \ne 3) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\(x\) について解いてから \(x\) と \(y\) を入れ替える」のが逆関数の手順です。元の関数の値域が、逆関数の定義域（\(x \ne 3\)）に引き継がれます。