図形と方程式　 基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解答】 \(2\sqrt{13}\)

【解説】
2点間の距離の公式 \(\text{AB} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\) を利用します。
\[\text{AB} = \sqrt{(5 – 1)^2 + (8 – 2)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
公式の「\(x\)座標どうしの差」と「\(y\)座標どうしの差」をそれぞれ2乗して足す流れを徹底しましょう。
引き算の順番はどちらから引いても2乗するため結果は変わりませんが、符号の付け間違えに注意してください。

【解答】 \((2, \frac{1}{3})\)

【解説】
内分点の公式 \(\left(\frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)\) を利用します。
\[x = \frac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{2 + 1} = \frac{-2 + 8}{3} = \frac{6}{3} = 2\]
\[y = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)}{2 + 1} = \frac{3 – 2}{3} = \frac{1}{3}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
内分点の公式は**「比の数字をクロスさせて掛ける」**のがポイントです！
\(2:1\) なら、\(2\) を点 \(\text{B}\)（後ろ側）の座標に、\(1\) を点 \(\text{A}\)（前側）の座標に掛け合わせます。たすき掛けのイメージを意識しましょう。

【解答】 \((1, 2)\)

【解説】
重心の公式 \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\) を利用します。
\[x = \frac{1 + (-2) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1\]
\[y = \frac{4 + 1 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
重心座標は**「3つの座標の平均値」**と覚えると一瞬です！
分母を「2」と勘違いして中点公式と混同する人が後を絶ちません。3頂点だから「3で割る」としっかり覚えましょう。

【解答】 \(y = 4x – 11\)

【解説】
点 \((x_1, y_1)\) を通り傾き \(m\) の直線の方程式 \(y – y_1 = m(x – x_1)\) を利用します。
\[y – (-3) = 4(x – 2)\]
\[y + 3 = 4x – 8 \to y = 4x – 11\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
中学数学の \(y = ax + b\) に代入して \(b\) を求める方法よりも、高校数学の** \(y – y_1 = m(x – x_1)\)** の形を使いこなすことが重要です！
\(y – (-3)\) のような負の数の代入時における符号ミスに注意してください。

【解答】 \(2x + y – 7 = 0\) （または \(y = -2x + 7\)）

【解説】
直線 \(2x + y – 5 = 0 \to y = -2x + 5\) より、傾きは \(-2\) です。
平行な直線の傾きも \(-2\) なので、
\[y – 1 = -2(x – 3) \to y – 1 = -2x + 6 \to 2x + y – 7 = 0\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
平行な直線は **\(2x + y + k = 0\)** とおくと計算が一瞬で終わります！
この式に \((3, 1)\) を代入すると \(2(3) + 1 + k = 0 \to k = -7\) となり、速攻で求められる裏技テクニックです。

【解答】 \(y = -\frac{1}{3}x – \frac{5}{3}\) （または \(x + 3y + 5 = 0\)）

【解説】
垂直条件は「傾きの積が \(-1\)」です。
求める直線の傾きを \(m\) とすると、\(3 \times m = -1 \to m = -\frac{1}{3}\)
点 \((1, -2)\) を通るため、
\[y – (-2) = -\frac{1}{3}(x – 1) \to y + 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \to y = -\frac{1}{3}x – \frac{5}{3}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
垂直な傾きを作るときは**「符号を逆にして、分子分母をひっくり返す（逆数のマイナス）」**と覚えましょう！
傾きが \(3\)（\(= \frac{3}{1}\)）なら、垂直な傾きは \(-\frac{1}{3}\) になります。

【解答】 \(2\)

【解説】
点と直線の距離の公式 \(d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) を利用します。
\[d = \frac{|3(2) + 4(3) – 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 – 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
点と直線の距離公式を使う前提は、直線の式が **\(ax + by + c = 0\)（一般形）**になっていることです！
\(y = \dots\) の形になっている場合は、必ず片側にすべて移行して \(= 0\) の形を作ってから代入しましょう。

【解答】 \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\)

【解説】
中心 \((a, b)\)、半径 \(r\) の円の方程式 \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) に代入します。
\[(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 5^2\]
\[(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
右辺の **\(r^2\)（半径の2乗）をし忘れて「\(5\)」と書いてしまう凡ミス**が多発します！
また、中心の \(y\) 座標が \(-3\) なのでカッコ内は \((y + 3)\) と符号が反転する点にも留意しましょう。

【解答】 中心の座標：\((2, -3)\)、半径：\(4\)

【解説】
\(x\) と \(y\) についてそれぞれ平方完成を行います。
\[(x^2 – 4x) + (y^2 + 6y) = 3\]
\[(x – 2)^2 – 4 + (y + 3)^2 – 9 = 3\]
\[(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 3 + 4 + 9 = 16\]
\(16 = 4^2\) より、中心は \((2, -3)\)、半径は \(4\)。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
平方完成で引き出された定数項（\(-4\) や \(-9\)）を右辺に移項するときに、**符号を変え忘れるミス**が絶えません。
「左辺で引いた分は、右辺に足す」ことを徹底して意識しましょう。

【解答】 \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 10\)

【解説】
中心 \(\text{C}\) は線分 \(\text{AB}\) の中点です。
\[\text{C}\left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}\right) = (2, 3)\]
半径 \(r\) は中心 \(\text{C}(2, 3)\) と点 \(\text{B}(5, 4)\) の距離です。
\[r^2 = (5 – 2)^2 + (4 – 3)^2 = 3^2 + 1^2 = 10\]
したがって、円の方程式は \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 10\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「直径の両端」と言われたら、**「中心＝中点」「半径＝中心からの距離（または直径の半分）」**という手順に頭を切り替えましょう。
2点間の距離 \(\text{AB}\)（直径）を求めた場合は、必ず最後に \(2\) で割って半径にしてから2乗しましょう。

【解答】 \(x + 2y = 5\)

【解説】
原点中心の円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点 \((x_1, y_1)\) における接線の公式 \(x_1 x + y_1 y = r^2\) を利用します。
\(x_1 = 1, y_1 = 2, r^2 = 5\) を代入して、
\[1 \cdot x + 2 \cdot y = 5 \to x + 2y = 5\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
公式の仕組みは**「\(x^2\) を \(x_1 x\) に、\(y^2\) を \(y_1 y\) に置き換えるだけ」**なので超強力です！
ただし、この公式が使えるのは**「円上の点」**であることが明記されている場合のみです。「円外の点から引いた接線」のときは使えないので区別しましょう。

【解答】 \(m = \pm 2\sqrt{2}\)

【解説】
円の中心 \((0, 0)\) と直線 \(x – y + m = 0\) の距離 \(d\) が、半径 \(r = 2\) と等しくなれば接します。
\[d = \frac{|0 – 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}}\]
\(d = r\) より、
\[\frac{|m|}{\sqrt{2}} = 2 \to |m| = 2\sqrt{2} \to m = \pm 2\sqrt{2}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「判別式 \(D = 0\)」を使う解法もありますが、計算量が膨らみやすいため**「中心と直線の距離 \(d = r\)（半径）」**を使う図形的解法が絶対的におすすめです！
最後の \(\pm\) の付け忘れに注意してください。

【解答】 2点で交わる

【解説】
円1：中心 \(\text{O}(0, 0)\), 半径 \(r_1 = 3\)
円2：中心 \(\text{A}(4, 3)\), 半径 \(r_2 = 4\)
中心間距離 \(d = \text{OA} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)
2つの半径の和と差を計算すると、
\(r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7\)
\(r_2 – r_1 = 4 – 3 = 1\)
\(1 < 5 < 7\)（\(r_2 - r_1 < d < r_1 + r_2\)）が成り立つため、**2点で交わる**。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
2円の位置関係は、**「中心間距離 \(d\)」「半径の和 \(r_1+r_2\)」「半径の差 \(|r_1-r_2|\)」の3つをメモ書き**して比較するのが定石です。
式だけで処理しようとせず、軽く図を描いてイメージを確かめましょう。

【解答】 中心 \(\left(\frac{7}{2}, 0\right)\)、半径 \(\frac{3}{2}\) の円（アポロニウスの円）

【解説】
点 \(\text{P}\) の座標を \((x, y)\) とおきます。
\(\text{AP} : \text{BP} = 3 : 1 \to \text{AP} = 3\text{BP} \to \text{AP}^2 = 9\text{BP}^2\)
\[(x + 1)^2 + y^2 = 9\{(x – 3)^2 + y^2\}\]
\[x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9(x^2 – 6x + 9 + y^2)\]
整理すると \(8x^2 – 56x + 8y^2 + 80 = 0 \to x^2 – 7x + y^2 + 10 = 0\)
平方完成して、\(\left(x – \frac{7}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
比の計算で \(\text{AP} : \text{BP} = 3 : 1\) から **「内項の積＝外項の積」で \(\text{AP} = 3\text{BP}\) に直す**のが第一歩！
ルートを消すために両辺を2乗するとき、右辺の \(3\) を2乗し忘れて「\(3\text{BP}^2\)」にしてしまう計算ミスが多発するので強く注意してください。

【解答】 直線 \(y = 2x – 1\) の上側の部分（ただし、境界線を含まない）。

【解説】
\(y > f(x)\) の形は、直線 \(y = f(x)\) の**上側**の領域を表します。
不等号に等号（\(\ge\)）が含まれていないため、境界線は含みません。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
領域の記述問題や作図問題で絶対に書いておかなければならないのが**「境界線を含むか含まないか」の注記**です。
不等号に「\(\leqq, \geqq\)」があれば「含む」、「\(<, >\)」なら「含まない」を必ず最後に一言添えましょう。

【解答】 原点中心、半径 \(3\) の円の内部および周上（境界線を含む）。

【解説】
\(x^2 + y^2 \le r^2\) の形は、円の**内部（および周上）**を表します。
不等号に等号が含まれているため、境界線（周）を含みます。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「円の内側か外側か」に迷ったら、原点 \((0, 0)\) を代入してみるのが手っ取り早いです！
\(0^2 + 0^2 \le 9 \to 0 \le 9\) となり成り立つので、「原点を含む側＝内側」と判別できます。

【解答】 \(2\pi\)

【解説】
\(x^2 + y^2 \le 4\) は半径 \(2\) の円の内部です。（全体面積は \(\pi \times 2^2 = 4\pi\)）
\(y \ge x\) は直線 \(y = x\) の上側領域です。
直線 \(y = x\) は原点を通るため、円をちょうど半分（半円）に分割します。
したがって、求める面積は全体面積の半分となり、\(4\pi \times \frac{1}{2} = 2\pi\) です。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
複雑な積分などを使おうとせず、**図形の対称性（半円や扇形）に着目する**のが賢い解き方です！
直線が中心を通っているかどうかを見極めましょう。

【解答】 最大値：\(8\) （\(x = 0, y = 4\) のとき）

【解説】
条件の領域は \(3\) 頂点 \((0, 0)\), \((4, 0)\), \((0, 4)\) を結ぶ三角形の内部および周上です。
\(x + 2y = k\) とおくと、\(y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}\) となり、これは傾き \(-\frac{1}{2}\)、\(y\)切片 \(\frac{k}{2}\) の直線群を表します。
この直線が領域と共有目を持つ中で \(y\)切片が最大になるのは、点 \((0, 4)\) を通るときです。
よって、\(k = 0 + 2(4) = 8\)。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
線形計画法の典型問題です。**「\(x + 2y = k\) とおいて直線を図示し、切片の位置関係を見る」**という定石をしっかり叩き込みましょう！
最大・最小値は領域の「角（頂点）」で起こることが非常に多いため、頂点の座標をあらかじめすべて算出しておくのがコツです。