微分法 基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解答】 \( 2 \)

【解説】
平均変化率の公式 \( \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \) に代入します。
・\( f(1) = 1^2 – 3(1) = -2 \)
・\( f(4) = 4^2 – 3(4) = 4 \)
求める平均変化率は、
\[ \frac{f(4) – f(1)}{4 – 1} = \frac{4 – (-2)}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
平均変化率は、2点を通る直線の「傾き」と同じ概念です！公式をしっかり覚えましょう。

【解答】 \( 6 \)

【解説】
微分係数の定義式 \( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \) を用います。
\[ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) – f(3)}{h} \]
分子を計算すると、
\[ (3+h)^2 – 3^2 = 9 + 6h + h^2 – 9 = 6h + h^2 \]
したがって、
\[ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「定義にしたがって」と言われたら、単に公式で微分するのではなく、極限式 \( \lim_{h \to 0} \) を使って解く必要があります！定期テスト記述の超頻出ポイントです。

【解答】 \( f'(x) = 6x^2 – 2x + 6 \)

【解説】
カッコを展開してから各項を微分します。
\[ f(x) = 2x^3 – x^2 + 6x – 3 \]
各項を微分して、
\[ f'(x) = 2 \cdot 3x^2 – 2x + 6 – 0 = 6x^2 – 2x + 6 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
数IIの段階では、カッコを展開してから公式（\( (x^n)’ = n x^{n-1} \)）を適用するのが安全で確実な手順です！

【解答】 \( y = 9x – 16 \)

【解説】
\( y’ = 3x^2 – 3 \) より、\( x = 2 \) における接線の傾き \( m \) は、
\( m = 3 \cdot 2^2 – 3 = 9 \)
点 \((2, 2)\) を通り、傾きが \( 9 \) の直線の方程式は、
\( y – 2 = 9(x – 2) \)
整理すると、\( y = 9x – 16 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( x \) 座標を微分した式（導関数）に代入＝接線の傾き」の流れを押さえましょう。

【解答】 \( y = 4x – 4 \) および \( y = -4x – 4 \)

【解説】
接点の \( x \) 座標を \( t \) とおくと、接点は \((t, t^2)\) と表せます。
\( y’ = 2x \) より傾きは \( 2t \) となるので、接線の方程式は、
\( y – t^2 = 2t(x – t) \)
すなわち、\( y = 2tx – t^2 \)
この直線が点 \((0, -4)\) を通るので代入すると、
\( -4 = 2t \cdot 0 – t^2 \)
\( t^2 = 4 \) より、\( t = 2, -2 \)
・\( t = 2 \) のとき、\( y = 4x – 4 \)
・\( t = -2 \) のとき、\( y = -4x – 4 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「曲線外の点」は接点ではありません。まずは仮の接点 \((t, f(t))\) をおいて式を作るのが鉄則です！

【解答】 \( -2 < k < 2 \)

【解説】
1. 接点を \((t, t^3 – 3t)\) とおくと、傾きは \( 3t^2 – 3 \)
2. 接線の方程式：
\[ y – (t^3 – 3t) = (3t^2 – 3)(x – t) \]
\[ y = (3t^2 – 3)x – 2t^3 \]
3. これが点 \((0, k)\) を通るので、\( k = -2t^3 \)
4. 「接線が3本」ということは、「\( t \) の方程式 \( -2t^3 = k \) が異なる3つの実数解をもつ」ということです。
5. \( g(t) = -2t^3 + 3t \) 等のグラフ描画や定数分離法により、極小値と極大値の間である \( -2 < k < 2 \) と求まります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「接線の本数 ＝ 接点 \(t\) の個数」と読み替えて方程式の解の個数問題に帰着させる、模試・入試で差がつく大超頻出パターンです！

【解答】 \( x = -1 \) で極大値 \( 10 \)、\( x = 3 \) で極小値 \( -22 \)

【解説】
導関数を求めます。
\( f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x + 1)(x – 3) \)
\( f'(x) = 0 \) とすると、\( x = -1, 3 \)
増減表を作成すると、\( x = -1 \) の前後で \( f'(x) \) は正から負へ変化し、\( x = 3 \) の前後で負から正へ変化します。
・極大値：\( f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 5 = 10 \)
・極小値：\( f(3) = 3^3 – 3(3)^2 – 9(3) + 5 = -22 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
増減表のプラス・マイナスの符号変化を正しく確認して極大・極小を判定しましょう。

【解答】 \( k < -3, 3 < k \)

【解説】
1. 導関数は \( f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3 \)
2. 3次関数 \( f(x) \) が極値をもつための条件は、2次方程式 \( f'(x) = 0 \) が**異なる2つの実数解**をもつことです。
3. したがって、判別式 \( D \) について \( D/4 > 0 \) が成立すればよいので、
\[ D/4 = k^2 – 3 \cdot 3 = k^2 – 9 > 0 \]
\[ (k + 3)(k – 3) > 0 \]
これを解くと、\( k < -3, 3 < k \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「極値をもつ \(\iff D > 0\)」「常に単調増加（極値をもたない）\(\iff D \le 0\)」の対比は超重要パターンです！

【解答】 \( a = -6, b = 9, c = 1 \)

【解説】
1. 導関数は \( f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \)
2. \( x = 1, 3 \) で極値をもつので、\( f'(1) = 0 \) かつ \( f'(3) = 0 \) となります。
・\( 3 + 2a + b = 0 \)
・\( 27 + 6a + b = 0 \)
この連立方程式を解くと、\( a = -6, b = 9 \)
3. また、\( x = 1 \) で極大値 \( 5 \) をとるので、\( f(1) = 5 \)
\( 1^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 5 \)
\( 1 – 6 + 9 + c = 5 \) より、\( c = 1 \)
（※このとき \( f(x) \) は確かに \( x = 1 \) で極大、\( x = 3 \) で極小となります）

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( x = \alpha \) で極値 \(\beta\)」から得られる条件は **\( f'(\alpha) = 0 \)** と **\( f(\alpha) = \beta \)** の2つです！

【解答】 \( x = 1 \) で最大値 \( 2 \)、\( x = -1, 2 \) で最小値 \( -2 \)

【解説】
\( f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x + 1)(x – 1) \)
\( f'(x) = 0 \) となるのは \( x = -1, 1 \)
区間 \( -1 \le x \le 2 \) における端点と極値を比較します。
・\( f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -2 \)
・\( f(1) = -(1)^3 + 3(1) = 2 \)
・\( f(2) = -(2)^3 + 3(2) = -2 \)
したがって、最大値は \( 2 \)（\( x = 1 \)）、最小値は \( -2 \)（\( x = -1, 2 \)）となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「極値」と「区間の両端の値」をすべて計算して比較する習慣をつけましょう。

【解答】 \( 2\,\text{cm} \)

【解説】
1. 切り取る正方形の1辺を \( x\,\text{cm} \) とすると、底面の1辺は \( (12 – 2x)\,\text{cm} \) となります。
2. 長さは正なので、\( x > 0 \) かつ \( 12 – 2x > 0 \) より、変域は **\( 0 < x < 6 \)** です。
3. 容積を \( V(x) \) とすると、
\( V(x) = x(12 – 2x)^2 = 4(x^3 – 12x^2 + 36x) \)
4. 微分すると、
\( V'(x) = 4(3x^2 – 24x + 36) = 12(x – 2)(x – 6) \)
5. \( 0 < x < 6 \) において \( V'(x) = 0 \) となるのは \( x = 2 \)
増減表より、\( x = 2 \) のとき容積 \( V \) は最大となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
文章題では **「変数 \( x \) の変域（定義域）を最初に明記すること」** が減点を防ぐ最大のポイントです！

【解答】 \( -2 < k < 2 \)

【解説】
方程式を \( x^3 – 3x = k \) と形を変え、\( y = x^3 – 3x \) のグラフと直線 \( y = k \) の交点の個数を考えます。
1. \( g(x) = x^3 – 3x \) とおくと、\( g'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x+1)(x-1) \)
2. 増減表より、\( g(x) \) は \( x = -1 \) で極大値 \( 2 \)、\( x = 1 \) で極小値 \( -2 \) をとります。
3. グラフと直線 \( y = k \) が異なる3つの交点をもつ条件は、直線 \( y = k \) が極小値と極大値の間を通ることです。
したがって、\( -2 < k < 2 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「実数解の個数＝グラフの交点の個数」。定数 \( k \) を右辺に孤立させて視覚的に解くのが「定数分離法」です。