複素数と方程式　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

解説

複素数の加法は、実部同士、虚部同士をそれぞれ計算します。
\( \begin{aligned} (2+3i) + (4-i) &= (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i \end{aligned} \)

答え: $6+2i$

解説 分配法則を用いて展開します。

$i^2=-1$となることに注意します。

\( (5-2i)(3+4i) \)

\(= 5 \cdot 3 + 5 \cdot 4i – 2i \cdot 3 – 2i \cdot 4i \)

\(= 15 + 20i – 6i – 8i^2 \)

\(= 15 + (20-6)i – 8 \cdot (-1) \)

\(= 15 + 14i + 8 \)

\(= 23 + 14i \)

答え: \(23 + 14i\)

解説 分母の共役な複素数 $(3+i)$(3+i) を分母と分子に掛け、分母を実数化します。

\( \frac{1+2i}{3-i} \)

\(= \frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} \)

\(= \frac{1(3)+1(i)+2i(3)+2i(i)}{3^2 – i^2} \)

\(= \frac{3+i+6i+2i^2}{9 – (-1)} \)

\(= \frac{3+7i+2(-1)}{10} \)

\(= \frac{3+7i-2}{10} \)

\(= \frac{1+7i}{10} \)

\(= \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i \)

答え:　\(\frac{1}{10} + \frac{7}{10}i \)

解説

$i$ の累乗は、$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$ の周期性を持ちます。

指数を4で割った余りを考えます。 10÷4=2 余り 2 なので、$i^{10}=i^2$となります。

\( i^{10} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1^2 \cdot (-1) = -1 \)

 答え:$-1$

解説 

複素数の相等条件より、2つの複素数が等しいとき、その実部と虚部はそれぞれ等しくなります。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

\( \begin{cases} x + 2y = 7 & \cdots (1) \\ 2x – y = 4 & \cdots (2) \end{cases} \)

この式における(2)を2倍すると

\( 4x – 2y = 8 \cdots (3) \)

より、式(1)と式(3)を足し合わせます。

\( (x+2y) + (4x-2y) = 7+8 \\ 5x = 15 \\ x = 3 \) 

したがって、\(x=3\) を式(1)に代入します。

\( 3 + 2y = 7 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \)

答え: \(x = 3, y = 2\)

解説 

共役な複素数とは、元の複素数の虚部の符号を反転させたものです。

複素数 $z=a+bi$に対して、共役な複素数は\(\overline{z} = a – bi\) です。

したがって、

\(z = -5 + 8i\) に対して共役な複素数は

\(\overline{z} = -5 – 8i\)

答え: \(-5-8i\)

解説 

解の公式\(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\) を用います。

この方程式では、\(a =1, b=-4, c =13\)です。

\( x = \displaystyle\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} \)

\( = \displaystyle\frac{4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2}\)

\(= \displaystyle\frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} \)

ここで、\(\sqrt{-36} = \sqrt{36 \times (-1)} = \sqrt{36}\sqrt{-1} = 6i\) です。

したがって、

\( x = \displaystyle\frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \) 

答え: \(x = 2\pm 3i \)

解説

$(1+i{)}^4=((1+i{)}^2{)}^2$ として計算すると簡単です。

まず、$(1+i{)}^2$を計算します。

\((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i \)

したがって、この結果を2乗します。

\((1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 \)

答え: \(-4\)

【解説】

2次方程式\(ax^2 + bx +c =0\) の解の種類は、判別式 \(D = b^2 -4ac\) の符号によって決まります。

• \(D > 0\) のとき：異なる2つの実数解を持つ
• \(D = 0\)のとき：重解（1つの実数解）を持つ
• \(D < 0\)のとき：異なる2つの虚数解を持つ

判別式\(D = 3^2 -4 \cdot 2 \cdot (-4)\)

\(= 9 +32\)

\(= 41 >0\)

よって

異なる２つの実数解をもつ

【解説】

判別式\(D/4 = (-3)^2 – 1 \cdot 9 = 0\)

より、重解をもつ

【解説】

2次方程式\(x^2 + 2mx + m + 12 = 0\) が異なる2つの虚数解をもつとき、判別式\(D < 0\) であるから，

\(D/4 = m^2 – 1 \cdot (m + 12) \)

\(= m^2 – m -12 < 0\)

これを解くと

\((m + 3)(m – 4) < 0\)

\(-3 < m < 4\)

【解説】

2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は次のようになります。

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ 

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

この関係を使って問題を解きます。

与えられた方程式 $2x^2+5x-4=0$では、$a=2,b=5,c=-4$です。

(1) $\alpha +\beta$

$\alpha +\beta =-\frac{5}{2}$

(2) $\alpha \beta$ 

$\alpha \beta =\frac{-4}{2}=-2$

(3) ${\alpha }^2+{\beta }^2$

この式は、$(\alpha +\beta {)}^2$ を使って変形できます。 

${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

(1)と(2)で求めた値を代入します。

 ${\alpha }^2+{\beta }^2=(-\frac{5}{2}{)}^2-2(-2)$ $=\frac{25}{4}+4$ $=\frac{25}{4}+\frac{16}{4}$ $=\frac{41}{4}$

【答え】 (1) $-\frac{5}{2}$ (2) $-2$ (3) $\frac{41}{4}$

【解説】

2つの数 $\alpha ,\beta$を解とする2次方程式の1つは、$x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$と表すことができます。

ここで、$\alpha =3+\sqrt{5}$, $\beta =3-\sqrt{5}$として、和と積を計算します。

和： $(\alpha +\beta )=(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=6$

積： $\alpha \beta =(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ $=3^2-(\sqrt{5}{)}^2$ $=9-5=4$

これらの値を $x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$に代入します。

$x^2-6x+4=0$

【答え】 $x^2-6x+4=0$

【解説】

2つの解を $\alpha ,2\alpha$とおきます。 解と係数の関係より、 方程式 $x^2-3x+k=0$において、$a=1,b=-3,c=k$ です。

解の和： $\alpha +2\alpha =-\frac{-3}{1}$

 $3\alpha =3$ 

$\alpha =1$

解の積： $\alpha \times (2\alpha )=\frac{k}{1}$​

 $2{\alpha }^2=k$

$\alpha =1$ を $2{\alpha }^2=k$ に代入して $k$の値を求めます。 $k=2\times 1^2=2$

したがって、定数 $k$ の値は 2 です。 そのときの2つの解は $\alpha$ と $2\alpha$なので、1 と 2 になります。

【答え】 定数 $k=2$ 、2つの解：1, 2

【解説】

3次方程式 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$とすると、解と係数の関係は次のようになります。

$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a}$​ 

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a}$

​$\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}$

与えられた方程式 $x^3+4x^2-3x-5=0$では、$a=1,b=4,c=-3,d=-5$です。

(1)  $\alpha +\beta +\gamma =-\frac{4}{1}=-4$

(2) $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{-3}{1}=-3$

(3) $\alpha \beta \gamma =-\frac{-5}{1}=5$

【答え】 (1) $-4$ (2) $-3$ (3) 5

【解説】

解と係数の関係を利用して、$a$ と $b$ の値を求めます。 2つの解を $\alpha =1-2i$, $\beta =1+2i$とします。

解の和： $\alpha +\beta =(1-2i)+(1+2i)=2$ 解と係数の関係より、

$\alpha +\beta =-a$ なので、 

$-a=2$ 

$a=-2$

解の積： $\alpha \beta =(1-2i)(1+2i)$ $=1^2-(2i{)}^2$ $=1-4i^2$

 $i^2=-1$ より

 $=1-4(-1)$ $=1+4=5$ 

解と係数の関係より、$\alpha \beta =b$

したがって、

 $b=5$

【別解】 実数係数の方程式において、虚数解 $p+qi$p+qi を持つならば、その共役な複素数 $p-qi$p−qi も必ず解となります。 問題では解が $1-2i$1−2i と $1+2i$1+2i となっており、この条件を満たしています。

問題2と同様に、2つの解から2次方程式を立てることができます。

和：$(1-2i)+(1+2i)=2$

積：$(1-2i)(1+2i)=5$

よって、2次方程式は $x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$ 

$x^2-2x+5=0$

この方程式が $x^2+ax+b=0$ と一致するので、係数を比較します。

 $a=-2,b=5$

【答え】 $a=-2,b=5$

【解説】

剰余の定理により、整式 \(P(x)\) を1次式 \(x – a\) で割ったときの余りは \(P(a)\) となります。

1. 割る式から \(a\) の値を求める 割る式は \(x – 2\) です。\(x – a\) の形と比べると、\(a = 2\) となります。
2. \(P(a)\) を計算する 求める余りは \(P(2)\) なので、\(P(x)\) の \(x\) に \(2\) を代入します。
3. \(P(2) = 2(2)³ – (2)² + 3(2) + 1 = 2(8) – 4 + 6 + 1 = 16 – 4 + 6 + 1 = 19\)

答え： 19

剰余の定理は、割る式が \(ax – b\) の形でも使えます。

この場合、\(ax – b = 0\) となる \(x\) の値、

つまり \(x = b/a\) を \(P(x)\) に代入します。

割る式から \(x\) の値を求める 割る式は \(3x + 1\) です。\(3x + 1 = 0\) を解くと、\(x = -1/3\) となります。
求める余りは \(P(-\frac{1}{3})\) です。

\(P(-\frac{1}{3})\)

\( = 3(-\frac{1}{3})³ + 5(-\frac{1}{3})² – 4(-\frac{1}{3}) + 2\)

\( = 3(-\frac{1}{27}) + 5(\frac{1}{9}) + \frac{4}{3} + 2\)

\( = -\frac{1}{9} + \frac{5}{9} + \frac{4}{3} + \frac{18}{9}\) （通分して計算しやすくする）

\(P(-\frac{1}{3}) = \frac{-1 + 5 + 12 + 18}{9}\)

\(P(-\frac{1}{3}) = \frac{34}{9}\)

答え：\(\displaystyle\frac{34}{9}\)

「割り切れる」とは、「余りが 0 である」ということです。剰余の定理を利用して、余りが 0 になるという方程式を作ります。

\(P(x)\) を \(x + 3\) で割ったときの余りは \(P(-3)\) となります。 問題の条件から、この余りが \(0\) になるので、\(P(-3) = 0\) が成り立ちます。

\(P(x)\) の \(x\) に \(-3\) を代入します。

\(P(-3) = (-3)³ + a(-3)² – 2(-3) + 5\)

\( = -27 + 9a + 6 + 5\)

\( = 9a – 16\)

\(P(-3) = 0\) なので、\(9a – 16 = 0\)

\(9a = 16\)

\(a = \frac{16}{9}\)

答え：\(a = \displaystyle\frac{16}{9}\)

割る式が2次式の場合、余りは1次以下の式（\(ax + b\) の形）になります。剰余の定理から得られる2つの条件を使って、連立方程式を解きます。

• \(P(x)\) を \(x – 1\) で割ると \(5\) 余る → \(P(1) = 5\)
• \(P(x)\) を \(x – 3\) で割ると \(11\) 余る → \(P(3) = 11\)

P(x) を2次式 \((x – 1)(x – 3)\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(ax + b\) とおきます。（\(a, b\) は定数）

このとき、次の関係式が成り立ちます。

\(P(x) = (x – 1)(x – 3)Q(x) + ax + b\)

この関係式に、手順1でわかっている \(P(1)\) と \(P(3)\) の値を代入します。

\(x = 1\) を代入する： \(P(1) = (1 – 1)(1 – 3)Q(1) + a \cdot 1 + b = a + b = 5\) …①

\(x = 3\) を代入する： \(P(3) = (3 – 1)(3 – 3)Q(3) + a \cdot 3 + b = 3a + b = 11\) …②

①と②の連立方程式を解くと、\(a =3, b=2\) より

余りは \(3x + 2\)

答え：\(3x + 2\)

\(P(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6\) とおく。

因数定理を用いて、$P(a)=0$ となる $a$の値を探す。方程式の解の候補は、定数項 6 の約数、すなわち $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$±1,±2,±3,±6 である。 これらの値を $x$に代入して、$P(x)=0$ となるか調べる。

$x=1$ を代入すると、 $P(1)=1^3-2(1{)}^2-5(1)+6=1-2-5+6=0$ より、

因数定理より $P(x)$ は $x-1$ を因数にもつことがわかる。

したがって、$P(x)$ を $x-1$ で割ると。

\(\begin{array}{r} x^2 – x – 6 \\ x-1 \overline{) x^3 – 2x^2 – 5x + 6} \\ – (x^3 – x^2) \hspace{5.5mm} \\ \hline -x^2 – 5x \hspace{5.5mm} \\ – (-x^2 + x) \hspace{2mm} \\ \hline -6x + 6 \\ – (-6x + 6) \\ \hline 0 \end{array}\)

割り算の結果より、商は \(x^2 – x – 6\) となり、次のように因数分解できる。
\(P(x) = (x-1)(x^2 – x – 6)\)

さらに、2次式 \(x^2 – x – 6\) を因数分解する。
\(x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2)\)
したがって、
\(P(x) = (x-1)(x-3)(x+2)\)
よって、方程式 \(P(x)=0\) の解は、
\(x-1=0\), \(x-3=0\), \(x+2=0\) より
\(x = 1, 3, -2\)

\(P(x) = 2x^3 + x^2 + x – 1\) とおく。
因数定理を用いて、\(P(a)=0\) となる \(a\) の値を探す。方程式の有理数解の候補は、

\(\pm \displaystyle\frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次数の係数の約数}}\)

である。
この場合、候補は \(\pm \displaystyle\frac{1}{1}, \pm \displaystyle\frac{1}{2}\)、

すなわち \(\pm 1, \pm \displaystyle\frac{1}{2}\) となる。

\(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入すると、
\(P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} – 1 = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = 1 – 1 = 0\)

\(P(\frac{1}{2})=0\) となったので、\(P(x)\) は \(x – \frac{1}{2}\) を因数に持つ。

これは、\(2x-1\) を因数に持つことと同じである。

そこで、\(P(x)\) を \(2x-1\) で割る筆算を行う。

\(\begin{array}{r} x^2 + x + 1 \\ 2x-1 \overline{) 2x^3 + x^2 + x – 1} \\ – (2x^3 – x^2) \hspace{4mm} \\ \hline 2x^2 + x \hspace{4mm} \\ – (2x^2 – x) \hspace{1mm} \\ \hline 2x – 1 \\ – (2x – 1) \\ \hline 0 \end{array}\)

割り算の結果より、 $P(x)=(2x-1)(x^2+x+1)$ 

よって、方程式 $P(x)=0$は $(2x-1)(x^2+x+1)=0$ となる。

したがって、 $2x-1=0$ または $x^2+x+1=0$

$2x-1=0$ より $x=\frac{1}{2}$

$x^2+x+1=0$ は実数の範囲で因数分解できないため、解の公式を用いて解く。 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$

以上より、求める解は、

 $x=\frac{1}{2},\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$

\(P(x) = x^4 – 2x^3 -7x^2 + 8x +12\) とおく。

定数項 12 の約数は $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$±1,±2,±3,±4,±6,±12 である。

$x=-1$ を代入すると、 $P(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^3-7(-1{)}^2+8(-1)+12=1-2(-1)-7(1)-8+12=1+2-7-8+12=0$

よって、$P(x)$は $x+1$を因数に持つ。

$P(x)$を $x+1$ で割ると以下になる。

\(\begin{array}{r} x^3 – 3x^2 – 4x + 12 \\ x+1 \overline{) x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12} \\ – (x^4 + x^3) \hspace{8.5mm} \\ \hline -3x^3 – 7x^2 \hspace{8.5mm} \\ – (-3x^3 – 3x^2) \hspace{5mm} \\ \hline -4x^2 + 8x \hspace{5mm} \\ – (-4x^2 – 4x) \hspace{2mm} \\ \hline 12x + 12 \\ – (12x + 12) \\ \hline 0 \end{array}\)

よって、 $P(x)=(x+1)(x^3-3x^2-4x+12)$

次に、商である3次式 $Q(x)=x^3-3x^2-4x+12$を因数分解する。 定数項 12 の約数の中から、

$Q(a)=0$ となる $a$を探す。

 $x=2$を代入すると、

$Q(2)=2^3-3(2{)}^2-4(2)+12=8-3(4)-8+12=8-12-8+12=0$

よって、$Q(x)$は $x-2$を因数に持つ。

$Q(x)$を $x-2$で割ると以下になる。

\(\begin{array}{r} x^2 – x – 6 \\ x-2 \overline{) x^3 – 3x^2 – 4x + 12} \\ – (x^3 – 2x^2) \hspace{5.5mm} \\ \hline -x^2 – 4x \hspace{5.5mm} \\ – (-x^2 + 2x) \hspace{2mm} \\ \hline -6x + 12 \\ – (-6x + 12) \\ \hline 0 \end{array}\)

したがって、 

$Q(x)=(x-2)(x^2-x-6)$

さらに、2次式 $x^2-x-6$を因数分解すると

 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$

よって、

 $P(x)=(x+1)Q(x)=(x+1)(x-2)(x^2-x-6)=(x+1)(x-2)(x-3)(x+2)$

したがって、方程式 $P(x)=0$の解は、 $x+1=0$， $x-2=0$ ，$x-3=0$, $x+2=0$

$x=-1,2,3,-2$