三角関数　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解答】 \(3\pi\)

【解説】
度数法から弧度法への変換は \(\times \frac{\pi}{180^\circ}\) を行います。
\(540^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = 3\pi\)
となります。

【解答】 \(210^\circ\)

【解説】
弧度法から度数法への変換は \(\pi = 180^\circ\) を代入します。
\[\frac{7}{6} \times 180^\circ = 210^\circ\]
となります。

【解答】 \(2\pi\)

【解説】
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\)（ラジアン）のおうぎ形の弧の長さ \(l\) は \(l = r\theta\) で求められます。
\[l = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi\]
となります。

【解答】 \(6\pi\)

【解説】
おうぎ形の面積 \(S\) は \(S = \frac{1}{2}r^2\theta\) で求められます。
\[S = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{3}{4}\pi = 6\pi\]
となります。

【解答】 第2象限

【解説】
\(90^\circ < 135^\circ < 180^\circ\) であるため、動径は第2象限に位置します。

【解答】 \(-\frac{1}{2}\)

【解説】
\(\frac{7}{6}\pi = \pi + \frac{\pi}{6}\) であり、第3象限の角です。
\[\sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\]
となります。

【解答】 \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) （または \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)）

【解説】
\(\frac{5}{4}\pi = \pi + \frac{\pi}{4}\) であり、第3象限の角です。
\[\cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
となります。

【解答】 \(\sqrt{3}\)

【解説】
\(\frac{4}{3}\pi = \pi + \frac{\pi}{3}\) であり、第3象限の角です。第3象限で \(\tan\) は正の値をとるため、\(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) となります。

【解答】 \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

【解説】
\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) の公式より、
\[\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
となります。

【解答】 \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) （または \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)）

【解説】
\(\cos(-\theta) = \cos\theta\) の公式より、
\[\cos \left(-\frac{3}{4}\pi\right) = \cos \frac{3}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
となります。

【解答】 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) （または \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)）

【解説】
\(\tan(-\theta) = -\tan\theta\) の公式より、
\[\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\]
となります。

【解答】 \(-\frac{4}{5}\)

【解説】
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より
\[\cos^2\theta = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\]
\(\theta\) は第2象限の角なので \(\cos\theta < 0\) です。したがって \(\cos\theta = -\frac{4}{5}\) となります。

【解答】 \(\frac{5}{12}\)

【解説】
\[\sin^2\theta = 1 – \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}\]
第3象限なので \(\sin\theta < 0\) より \(\sin\theta = -\frac{5}{13}\)。
\[\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}\]
となります。

【解答】 \(\frac{1}{5}\)

【解説】
三角比の相互関係式 \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を用います。
\[1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2\theta} \implies 5 = \frac{1}{\cos^2\theta}\]
より、\(\cos^2\theta = \frac{1}{5}\) となります。

【解答】 \(-\frac{3}{8}\)

【解説】
両辺を2乗します。
\[(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \implies \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}\]
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を代入して
\[1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} \implies 2\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{4}\]
よって \(\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}\) となります。

【解答】 \(\sin\theta\)

【解説】
正弦関数（\(\sin\)）の周期は \(2\pi\) なので、\(2\pi\) を加えても値は変化しません。

【解答】 \(-\cos\theta\)

【解説】
単位円上で \(\pi\)（\(180^\circ\)）進むと \(x\) 座標の符号が反転するため、\(\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta\) となります。

【解答】 \(-\sin\theta\)

【解説】
\[\sin(\theta – \pi) = -\sin(\pi – \theta) = -\sin\theta\]
となります。

【解答】 \(\cos\theta\)

【解説】
直角三角比の性質（または加法定理）より、\(\sin \left(\frac{\pi}{2} – \theta\right) = \cos\theta\) となります。

【解答】 \(-\sin\theta\)

【解説】
加法定理を用いると
\[\cos\theta \cos\frac{\pi}{2} – \sin\theta \sin\frac{\pi}{2} = 0 – \sin\theta = -\sin\theta\]
となります。

【解答】 \(2\pi\) （または \(360^\circ\)）

【解説】
正弦関数は \(2\pi\) ごとに同じ値を繰り返すため、基本周期は \(2\pi\) です。

【解答】 \(\pi\) （または \(180^\circ\)）

【解説】
正接関数は \(\pi\) ごとに同じパターンを繰り返すため、基本周期は \(\pi\) です。

【解答】 \(\pi\)

【解説】
\(y = \sin k\theta\) の周期は \(\frac{2\pi}{|k|}\) で求まります。
したがって、\(\frac{2\pi}{2} = \pi\) となります。

【解答】 \(6\pi\)

【解説】
周期は \(\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi\) となります。

【解答】 最大値：\(2\)、最小値：\(-2\) （値域：\(-2 \le y \le 2\)）

【解説】
\(-1 \le \sin\theta \le 1\) の両辺を 2 倍すると \(-2 \le 2\sin\theta \le 2\) となります。

【解答】 \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

【解説】
\[\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\]
\[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]
となります。

【解答】 \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

【解説】
\[\cos 15^\circ = \cos (45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ\]
\[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]
となります。

【解答】 \(-2 – \sqrt{3}\)

【解説】
\[\tan 105^\circ = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 – \tan 60^\circ \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 – \sqrt{3}}\]
分母を有理化すると
\[\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 – \sqrt{3}\]
となります。

【解答】 \(\frac{56}{65}\)

【解説】
第1象限より \(\cos \alpha = \sqrt{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5})、(\sin \beta = \sqrt{1 – \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}\)。
加法定理より
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36 + 20}{65} = \frac{56}{65}\]

【解答】 \(0\)

【解説】
加法定理 \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\) の逆を適用します。
\[\text{与式} = \cos(70^\circ + 20^\circ) = \cos 90^\circ = 0\]
となります。

【解答】 \(\frac{\pi}{4}\) （または \(45^\circ\)）

【解説】
2直線の傾きを \(\tan\alpha = 2\), \(\tan\beta = \frac{1}{3}\) とおくと、
\[\tan\theta = \left|\frac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\right| = \left|\frac{2 – \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}}\right| = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1\]
\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) より \(\theta = \frac{\pi}{4}\) となります。

【解答】 \(2\sin\theta\cos\theta\)

【解説】
加法定理 \(\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) より導かれます。

【解答】 \(\frac{7}{9}\)

【解説】
2倍角の公式 \(\cos 2\theta = 1 – 2\sin^2\theta\) を利用します。
\[\cos 2\theta = 1 – 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 – \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\]
となります。

【解答】 \(-\frac{3}{4}\)

【解説】
2倍角の公式 \(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta}\) を利用します。
\[\tan 2\theta = \frac{2 \times 3}{1 – 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}\]
となります。

【解答】 \(\frac{2 – \sqrt{2}}{4}\)

【解説】
半角の公式 \(\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 – \cos\theta}{2}\) を利用します。
\[\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 – \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4}\]
となります。

【解答】 \(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\)

【解説】
\(22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}\) です。半角の公式より
\[\cos^2 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\]
\(\cos 22.5^\circ > 0\) より、平方根をとって \(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\) となります。

【解答】 \(7 – 4\sqrt{3}\) （または \((2 – \sqrt{3})^2\)）

【解説】
半角の公式 \(\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 – \cos\theta}{1 + \cos\theta}\) を利用します。
\[\tan^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1 – \cos\frac{\pi}{6}}{1 + \cos\frac{\pi}{6}} = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 – \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = (2 – \sqrt{3})^2 = 7 – 4\sqrt{3}\]
となります。

【解答】 \(\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2}{3}\pi\)

【解説】
単位円上で \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) となる角度を探すと、第1象限と第2象限で \(\frac{\pi}{3}) と (\frac{2}{3}\pi) になります。

【解答】 (\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi)

【解説】
単位円上で (x = -\frac{1}{2}) となる角度を探すと、第2象限と第3象限で (\frac{2}{3}\pi\) と \(\frac{4}{3}\pi\) になります。

【解答】 \(\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi\)

【解説】
傾きが \(-1\) となる直線上の角度を探すと、第2象限と第4象限で \(\frac{3}{4}\pi\) と \(\frac{7}{4}\pi\) になります。

【解答】 \(\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5}{6}\pi\)

【解説】
単位円上で \(y > \frac{1}{2}\) となる領域に対応する角の範囲を求めます。

【解答】 \(\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{7}{4}\pi\)

【解説】
単位円上で \(x \le \frac{\sqrt{2}}{2}\) となる領域に対応する角の範囲を求めます。

【解答】 \(\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{4}{3}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi\)

【解説】
動径の傾きが \(\sqrt{3}\) 以上になる範囲を探します。\(\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\) では \(\tan\theta\) の値が定義されない（漸近線）ため、等号を含めない点に注意します。

【解答】 \(\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\)

【解説】
\(a=1, b=1\) より \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)。
\(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\) を満たす \(\alpha\) は \(\frac{\pi}{4}\) です。

【解答】 \(2 \sin\left(\theta – \frac{\pi}{6}\right)\)

【解説】
\(a=\sqrt{3}, b=-1\) より \(r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2\)。
点 \((\sqrt{3}, -1)\) に対応する角 \(\alpha\) は \(-\frac{\pi}{6}\) となります。

【解答】\(\sqrt{2}\) （\(\theta = \frac{\pi}{4}\) のとき）

【解説】
合成すると \(y = \sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\)。
\(0 \le \theta \le \pi\) より \(\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5}{4}\pi\)。
この範囲で \(\sin\) が最大値 \(1\) をとるのは \(\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}\) のときで、最大値は \(\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\) です。

【解答】 \(\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi\)

【解説】
左辺を合成して
\[2\sin\left(\theta – \frac{\pi}{3}\right) = 1 \implies \sin\left(\theta – \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\]
\(-\frac{\pi}{3} \le \theta – \frac{\pi}{3} < \frac{5}{3}\pi\) より、
\[\theta – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi \implies \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi\]
となります。

【解答】 \(\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi\)

【解説】
\(\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta\) を代入して \(\sin\) に統一します。
\[2(1 – \sin^2\theta) + \sin\theta – 1 = 0 \implies 2\sin^2\theta – \sin\theta – 1 = 0\]
因数分解すると
\[(2\sin\theta + 1)(\sin\theta – 1) = 0 \implies \sin\theta = 1, -\frac{1}{2}\]
\(0 \le \theta < 2\pi\) より、
\(\sin\theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{2}\)
\(\sin\theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi\)
となります。

【解答】 \(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\pi\)

【解説】
因数分解すると
\[(2\sin\theta – 1)(\sin\theta – 1) \le 0 \implies \frac{1}{2} \le \sin\theta \le 1\]
\(0 \le \theta < 2\pi\) の範囲で \(\sin\theta \ge \frac{1}{2}\) となる範囲を求めると \(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\pi\) となります。

【解答】 最大値：\(6\) （\(\theta = \frac{\pi}{2}\) のとき）、最小値：\(2\) （\(\theta = \frac{3}{2}\pi\) のとき）

【解説】
\(t = \sin\theta\) とおくと、\(-1 \le t \le 1\) です。
\[y = t^2 + 2t + 3 = (t + 1)^2 + 2\]
下に凸の放物線で、範囲 \(-1 \le t \le 1\) において：
・\(t = 1\) （\(\theta = \frac{\pi}{2}\)）のとき、最大値 \(1^2 + 2(1) + 3 = 6\)
・\(t = -1\) （\(\theta = \frac{3}{2}\pi\)）のとき、最小値 \((-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2\)
となります。