複素数平面　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学C）〜

【解答】 絶対値：\( |z| = 5 \)、共役複素数：\( \bar{z} = 3 + 4i \)

【ステップ1：共役複素数の定義】
\( z = a + bi \) に対し、虚部の符号を反転させたものを共役複素数 \( \bar{z} = a – bi \) と呼びます。
\[ \bar{z} = 3 + 4i \]

【ステップ2：絶対値の計算】
絶対値 \( |z| \) は原点からの距離であり、公式 **\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)** で求めます。
\[ |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
複素数の絶対値の2乗と共役複素数には \( z\bar{z} = |z|^2 \) という非常に重要な関係式があります。分母の実数化などで多用する基本性質です。

【解答】 \( z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \)

【ステップ1：絶対値 \( r \) の算出】
\[ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

【ステップ2：偏角 \( \theta \) の算出】
\[ \cos\theta = \frac{-1}{2}, \quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\( 0 \leqq \theta < 2\pi \) より、\( \theta = \frac{2\pi}{3} \) となります。

【ステップ3：極形式への代入】
\[ z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
極形式 \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) は複素数平面における「大きさ（距離）と向き（角度）」による表記です。直交座標との変換をスムーズに行えるように練習しておきましょう。

【解答】 絶対値：\( 6 \)、偏角：\( \frac{\pi}{3} \)

【ステップ1：極形式の積の公式】
極形式の積 \( z_1 z_2 \) は以下の計算ルールに従います。
・絶対値：**\( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)**
・偏角：**\( \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \)**

【ステップ2：計算の実行】
・絶対値：\( 3 \times 2 = 6 \)
・偏角：\( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi + \pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「積は絶対値の掛け算・偏角の足し算」「商は絶対値の割り算・偏角の引き算」となります。複素数の掛け算を図形的な回転と拡大・縮小として捉える感覚を身につけましょう。

【解答】 \( -64 \)

【ステップ1：極形式への変換】
\( z = \sqrt{3} + i \) の絶対値 \( r \) と偏角 \( \theta \) を求めます。
\( r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 \)
\( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2} \) より \( \theta = \frac{\pi}{6} \)
極形式：\( z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \)

【ステップ2：ド・モアブルの定理の適用】
公式 **\( \{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^n = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) \)** を適用します。
\[ z^6 = 2^6 \left( \cos \left(6 \times \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(6 \times \frac{\pi}{6}\right) \right) \]
\[ = 64 (\cos \pi + i \sin \pi) \]

【ステップ3：値の算出】
\( \cos \pi = -1 \)、\( \sin \pi = 0 \) なので、
\[ z^6 = 64(-1 + 0i) = -64 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
高次の累乗計算は「極形式に直してド・モアブルの定理」が定番アプローチです。

【解答】 単位円に内接する正三角形

【ステップ1：極形式を用いた立式】
\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)（\( r > 0, 0 \leq \theta < 2\pi \)）とおくと、
\[ z^3 = r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta) = 1(\cos 0 + i\sin 0) \]

【ステップ2：絶対値と偏角の比較】
・\( r^3 = 1 \) より \( r = 1 \)
・\( 3\theta = 0 + 2k\pi \) （\( k = 0, 1, 2 \)）より \( \theta = \frac{2k\pi}{3} \)
解は以下の3点となります。
・\( z_0 = 1 \)
・\( z_1 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \)
・\( z_2 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

【ステップ3：図形の同定】
これらは原点を中心とする半径 1 の円周を 3 等分する点であるため、**単位円に内接する正三角形** の頂点となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
一般に方程式 \( z^n = 1 \) の解は、複素数平面上で「単位円に内接する正 \(n\) 角形」の頂点に配置されます。

【解答】 \( \gamma = 4 – i \)

【ステップ1：内分点の公式の適用】
2点 \( \alpha, \beta \) を結ぶ線分を \( m : n \) に内分する点の公式は **\( \frac{n\alpha + m\beta}{m + n} \)** です。
\[ \gamma = \frac{1 \cdot (1 + 2i) + 3 \cdot (5 – 2i)}{3 + 1} \]
\[ = \frac{1 + 2i + 15 – 6i}{4} = \frac{16 – 4i}{4} = 4 – i \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
複素数平面における分点公式（内分・外分・重心）は、ベクトルや座標平面の公式と全く同じ形で利用できます。

【解答】 \( (1 – \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i \)

【ステップ1：回転を表す複素数の作成】
角 \( \frac{\pi}{3} \) の回転を表す複素数は \( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) です。

【ステップ2：回転の計算】
\[ \beta = \alpha \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \]
\[ = (2 + 2i) \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \]
\[ = 1 + \sqrt{3}i + i – \sqrt{3} = (1 – \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
原点を中心に \( \theta \) 回転させたいときは、\( \cos\theta + i\sin\theta \) を掛けるだけで求めることができます。

【解答】 \( \gamma = 0 + 3i \)

【ステップ1：中心を原点に平行移動する立式】
点 \( \alpha \) を中心とする回転移動の基本形は **\( \gamma – \alpha = (\beta – \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta) \)** です。
\( \alpha = 1 + i \)、\( \beta = 3 + 2i \)、\( \theta = \frac{\pi}{2} \) （\( \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i \)）を代入します。

【ステップ2：計算の実行】
\[ \gamma – (1 + i) = \{(3 + 2i) – (1 + i)\} \times i \]
\[ \gamma – (1 + i) = (2 + i)i \]
\[ \gamma – (1 + i) = -1 + 2i \]
\[ \gamma = (-1 + 2i) + (1 + i) = 0 + 3i \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「点 \(\alpha\) の周りの回転」は、一度全体を平行移動して中心を原点に戻すという考え方です。\( \gamma – \alpha = (\beta – \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta) \) は入試の超重要公式です。

【解答】 \( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 – \alpha\beta – \beta\gamma – \gamma\alpha = 0 \)

【ステップ1：回転移動による定式化】
\( \triangle ABC \) が正三角形であることは、「点 \( C \) が 点 \( A \) を中心に点 \( B \) を \( \pm \frac{\pi}{3} \) 回転させた点である」ことと同値です。
\[ \frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha} = \cos \left(\pm \frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\pm \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \]

【ステップ2：式を変形して \( i \) を消去】
\[ 2(\gamma – \alpha) – (\beta – \alpha) = \pm \sqrt{3}i (\beta – \alpha) \]
\[ 2\gamma – \alpha – \beta = \pm \sqrt{3}i (\beta – \alpha) \]
両辺を2乗します。
\[ (2\gamma – \alpha – \beta)^2 = -3(\beta – \alpha)^2 \]
\[ 4\gamma^2 + \alpha^2 + \beta^2 – 4\alpha\gamma – 4\beta\gamma + 2\alpha\beta = -3(\beta^2 – 2\alpha\beta + \alpha^2) \]
\[ 4\alpha^2 + 4\beta^2 + 4\gamma^2 – 4\alpha\beta – 4\beta\gamma – 4\gamma\alpha = 0 \]
両辺を 4 で割ると以下を得ます。
\[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 – \alpha\beta – \beta\gamma – \gamma\alpha = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
この対称な美しい関係式は正三角形の代数的な判定条件として入試で非常に好まれます。導出プロセスも含めて覚えておきましょう。

【解答】 \( \frac{\pi}{2} \) （直角）

【ステップ1：商 \(\frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha}\) の計算】
・\( \beta – \alpha = (3 + 3i) – (1 + i) = 2 + 2i \)
・\( \gamma – \alpha = (0 + 2i) – (1 + i) = -1 + i \)
商を計算します。
\[ \frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha} = \frac{-1 + i}{2 + 2i} = \frac{(-1 + i)(2 – 2i)}{(2 + 2i)(2 – 2i)} = \frac{4i}{8} = \frac{1}{2}i \]

【ステップ2：偏角の判定】
商が純虚数 \( \frac{1}{2}i \) となるため、その偏角は \( \frac{\pi}{2} \) です。
したがって、2線分は直交し、なす角は **\( \frac{\pi}{2} \)** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
商 \( \frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha} \) が実数なら3点は同同一線上にあり、純虚数なら2線分は直交します。

【解答】 点 \( 2 + i \) を中心とする半径 \( 3 \) の円

【ステップ1：式の変形と図形的解釈】
与式を \( |z – (2 + i)| = 3 \) と変形します。
\( |z – \alpha| \) は「点 \( z \) と点 \( \alpha \) の距離」を表すため、本式は「点 \( 2 + i \) からの距離が一定値 3 である点の集合」を意味します。

【ステップ2：結論】
これは **点 \( 2 + i \)（直交座標で点 \( (2, 1) \)）を中心とする半径 \( 3 \) の円** を表します。

👨‍🏫 教員のアドバイス
複素数平面における円の基本標準形は \( |z – \alpha| = r \) （中心 \(\alpha\)、半径 \(r\)）です。

【解答】 2点 \( 1 + i \) と \( 3 + 5i \) を結ぶ線分の垂直二等分線（直線 \( x + 2y – 8 = 0 \)）

【ステップ1：直交座標への変換】
\( z = x + yi \) とおいて式に代入します。
\[ |(x – 1) + (y – 1)i|^2 = |(x – 3) + (y – 5)i|^2 \]
\[ (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = (x – 3)^2 + (y – 5)^2 \]

【ステップ2：整理】
\[ x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 6x + 9 + y^2 – 10y + 25 \]
\[ 4x + 8y – 32 = 0 \]
\[ x + 2y – 8 = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( |z – \alpha| = |z – \beta| \) は「点 \(\alpha\) と点 \(\beta\) から等距離にある点の集合」つまり垂直二等分線です。

【解答】 直線 \( \mathrm{Re}(w) = \frac{1}{2} \) （直交座標で直線 \( x = \frac{1}{2} \)）

【ステップ1：\( z = \frac{1}{w} \) の代入】
条件式 \( |z – 1| = 1 \) に \( z = \frac{1}{w} \) を代入します。
\[ \left| \frac{1}{w} – 1 \right| = 1 \]
\[ \left| \frac{1 – w}{w} \right| = 1 \]
\[ |1 – w| = |w| \]
\[ |w – 1| = |w – 0| \]

【ステップ2：図形的同定】
これは「点 1 と 原点 0 からの距離が等しい点の集合」を表します。
したがって、点 \( w \) の軌跡は **2点 0 と 1 を結ぶ線分の垂直二等分線（直線 \( x = \frac{1}{2} \)）** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
反転 \( w = \frac{1}{z} \) において、「原点を通る円」は「原点を通らない直線」に移ります。非常に美しい図形変換の性質です。

【解答】 原点を中心とする半径 \( \frac{1}{2} \) の円

【ステップ1：代入と立式】
条件式 \( |z| = 2 \) に \( z = \frac{1}{w} \) を代入します。
\[ \left| \frac{1}{w} \right| = 2 \]
\[ \frac{1}{|w|} = 2 \]
\[ |w| = \frac{1}{2} \]

【ステップ2：結論】
点 \( w \) の軌跡は **原点を中心とする半径 \( \frac{1}{2} \) の円** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
原点を中心とする円 \( |z| = r \) は、反転によって半径が逆数 \( \frac{1}{r} \) になる同心円に移ります。

【解答】 点 \( 2 \)（座標 \( (2, 0) \)）を中心とする半径 \( 1 \) の円の外部（境界含む）かつ、半径 \( 3 \) の円の内部（境界含む）で挟まれたドーナツ型の領域

【ステップ1：絶対値の意味の読み取り】
\( |z – 2| \) は「点 \( z \) と点 \( 2 \) の距離」を表します。

【ステップ2：不等式の分解】
与えられた連立不等式は以下の2条件を同時に満たす領域です。
1. **\( |z – 2| \geq 1 \)** ：点 \( 2 \) を中心とする半径 1 の円の境界線およびその外部
2. **\( |z – 2| \leq 3 \)** ：点 \( 2 \) を中心とする半径 3 の円の境界線およびその内部

【ステップ3：結論】
両者をあわせた領域は、**点 \( 2 \) を中心とする2つの同心円（半径 1 と 半径 3）に挟まれたドーナツ型の領域（境界線を含む）** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
複素数平面における領域問題は、方程式の「距離」の意味を読み取ることで視覚的に解くのが基本です。境界線を含むか含まないかの確認も忘れずに行いましょう。