数学的な表現の工夫　基本問題〜一問一答式（高校数学C）〜

【解答】 \( \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)

【ステップ1：スカラー倍の計算】
行列 \( A \) のすべての成分を 2 倍します。
\[ 2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \]

【ステップ2：成分同士の引き算】
同じ位置にある成分同士を引き算します。
\[ 2A – B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 2 – 0 & 4 – (-1) \\ 6 – 2 & 8 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
行列の和・差・スカラー倍は、対応する「同じ位置の成分」ごとに計算します。符号のミス（特に引き算）に注意しましょう。

【解答】 \( \begin{pmatrix} 10 & -1 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} \)

【ステップ1：積の計算ルールの適用】
左側の行列 \( A \) の「行」と、右側の行列 \( B \) の「列」の対応する成分同士を掛けて足し合わせます。
・ (1行, 1列) 成分：\( 1 \times 2 + 2 \times 4 = 10 \)
・ (1行, 2列) 成分：\( 1 \times 1 + 2 \times (-1) = -1 \)
・ (2行, 1列) 成分：\( 0 \times 2 + 3 \times 4 = 12 \)
・ (2行, 2列) 成分：\( 0 \times 1 + 3 \times (-1) = -3 \)

【ステップ2：結果のまとめ】
\[ AB = \begin{pmatrix} 10 & -1 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
行列の積は「左の行 × 右の列」で計算します。一般に \( AB \neq BA \) （交換法則が成り立たない）点に十分注意してください。

【解答】 \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \)

【ステップ1：\( ad – bc \) の確認】
\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) において \( ad – bc \) を求めます。
\[ 3 \times 4 – 2 \times 5 = 12 – 10 = 2 \neq 0 \]
\( ad – bc \neq 0 \) であるため、逆行列が存在します。

【ステップ2：公式への代入】
逆行列の公式 **\( A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)** を使用します。
\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
対角成分（\(a\) と \(d\)）の位置を入れ替え、副対角成分（\(b\) と \(c\)）の符号を反転させるのが基本公式です。

【解答】 \( x = 3, \ y = -1 \)

【ステップ1：行列表示への変換】
連立方程式を行列の積の形 \( A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix} \) で表します。
\[ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix} \]

【ステップ2：両辺に左から逆行列を掛ける】
問3で求めた逆行列 \( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \) を左から掛けます。
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix} \]
\[ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \cdot 7 + (-2) \cdot 11 \\ -5 \cdot 7 + 3 \cdot 11 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 28 – 22 \\ -35 + 33 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \) の両辺に「左から」 \( A^{-1} \) を掛けて \( \boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b} \) とする解法は、行列の最も基本的な応用例です。

【解答】 行列：\( R = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)、点 \( Q \) の座標：\( (1, \sqrt{3}) \)

【ステップ1：回転行列の作成】
角 \( \theta \) の回転行列の基本形は **\( \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \)** です。
\[ R = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

【ステップ2：移動後の座標の計算】
列ベクトル \( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) に行列 \( R \) を左から掛けます。
\[ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
一次変換では「変換行列 × 点の列ベクトル」の順番で計算します。

【解答】 \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

【ステップ1：それぞれの表現行列の作成】
・\( y \) 軸対称移動：\( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
・\( \frac{\pi}{2} \) 回転移動：\( B = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

【ステップ2：合成変換の積順の適用】
「\( f \) の後に \( g \)」の合成移動を表す行列は **積 \( BA \)** （左側に後に適用する行列）となります。
\[ BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\(f\) のあとに \(g\)」を行うときの行列は \(AB\) ではなく \(BA\) になります。掛ける順番が逆になる点に注意しましょう。

【解答】 2本

【ステップ1：全成分の和の算出】
隣接行列 \( A \) の全成分を足し合わせます。
\[ 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 4 \]

【ステップ2：2で割って辺の数を計算】
無向グラフにおいて、1本の辺は隣接行列上で 2 つの成分（\( (i, j) \) と \( (j, i) \)）に対応します。
したがって、辺の総数は **\( \frac{4}{2} = 2 \) 本** （頂点 1-2 間、頂点 1-3 間）です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
無向グラフの隣接行列は主対角線に関して対称（\(A = A^T\)）になり、全成分の合計は（頂点の次数の和 ＝ 辺の数の2倍）となります。

【解答】 \( A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)、経路数：2通り

【ステップ1：\( A^2 \) の計算】
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

【ステップ2：意味の解釈】
隣接行列の \( n \) 乗における \( (i, j) \) 成分は「頂点 \( i \) から頂点 \( j \) への長さ \( n \) の経路の総数」を表します。
\( A^2 \) の (1行, 1列) 成分は 2 であるため、頂点 1 から 1 への長さ 2 の経路は **2通り** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「隣接行列の \(n\) 累乗の成分＝長さ \(n\) のパスの数」という性質は、グラフ理論における超重要定理です。

【解答】 \( \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.2 \end{pmatrix} \)

【ステップ1：推移行列の計算】
推移行列 \( P \) を初期状態の確率ベクトルに掛け合わせます。
\[ P \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.8 \times 1 + 0.3 \times 0 \\ 0.2 \times 1 + 0.7 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.2 \end{pmatrix} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
推移行列の各列の和は必ず 1（100%）になります。\( n \) ステップ後の状態確率は \( P^n \) を掛けることで求めることができます。

【解答】 \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{pmatrix} \)

【ステップ1：定常状態の条件式の立式】
十分時間が経つと状態確率が変わらなくなるため、**\( P \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)** が成り立ちます。
\[ \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

【ステップ2：方程式の解法】
上段の式：\( 0.8x + 0.3y = x \ \implies \ 0.3y = 0.2x \ \implies \ 2x – 3y = 0 \)
確率の全和条件：\( x + y = 1 \)

【ステップ3：連立方程式を解く】
\( y = 1 – x \) を代入すると、\( 2x – 3(1 – x) = 0 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6 \)
よって、\( y = 0.4 \) となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
マルコフ鎖が十分な時間経過後に収束する「定常状態」は、Googleのページランクアルゴリズムなど現実のデータ分析でも酷使される超重要テーマです。

【解答】 一筆書き可能である（奇頂点がちょうど2個存在するため）

【ステップ1：奇頂点の個数の確認】
頂点の次数が奇数である頂点を「奇頂点」と呼びます。
与えられた次数 \( (3, 3, 2, 2) \) のうち、奇数は 3 が 2 つあるため、**奇頂点の個数は 2 個** です。

【ステップ2：オイラーの定理の適用】
連結グラフにおいて一筆書きができる条件は以下のいずれかです。
1. 奇頂点が **0個**（オイラー回路：スタートに戻る）
2. 奇頂点が **2個**（オイラー小道：別の奇頂点で終わる）
条件 2 を満たすため、一筆書き可能です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「奇頂点が 0 個または 2 個のときのみ一筆書きができる」というオイラーの定理は、グラフ理論の出発点です。

【解答】 A: 0, B: 10, C: 110, D: 111 （一例）

【ステップ1：出現確率が高い順に短い符号を割り当てる原理】
出現頻度が高い文字ほど短いビット長を割り当てることで、データ全体の平均長を最小化できます。

【ステップ2：二進木（樹状図）による割り当て】
・出現確率 \( \frac{1}{2} \) の A には 1 ビット符号「0」
・残り \( \frac{1}{2} \)（1から始まる分岐）の中で、確率 \( \frac{1}{4} \) の B に「10」
・さらに残り確率 \( \frac{1}{8} \) づつの C, D にそれぞれ「110」「111」を割り当てます。

👨‍🏫 教員のアドバイス
確率構造を樹状図（二進木）として視覚化し、データ表現の効率化を図るこの手法は「ハフマン符号化」としてzip圧縮などで広く使われています。

【解答】 \( S = 55 \)

【ステップ1：ループ処理の追跡（トレース）】
・\( i = 1 \)：\( S = 0 + 1^2 = 1 \)
・\( i = 2 \)：\( S = 1 + 2^2 = 5 \)
・\( i = 3 \)：\( S = 5 + 3^2 = 14 \)
・\( i = 4 \)：\( S = 14 + 4^2 = 30 \)
・\( i = 5 \)：\( S = 30 + 5^2 = 55 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
この処理は、数学記号を用いて **\( S = \sum_{k=1}^{5} k^2 \)** と表される和の計算アルゴリズムです。

【解答】 4回（または5回：実装方法によるが基本は 4 回）

【ステップ1：二分探索のステップ毎の範囲縮小】
二分探索は 1 回の比較で候補範囲を半分（\( \frac{1}{2} \)）に絞り込みます。
・1回目の比較：候補は \( 16 \div 2 = 8 \) 個
・2回目の比較：候補は \( 8 \div 2 = 4 \) 個
・3回目の比較：候補は \( 4 \div 2 = 2 \) 個
・4回目の比較：候補は \( 2 \div 2 = 1 \) 個に絞り込まれる。

【ステップ2：数式表現】
データ数 \( N = 16 \) のとき、\( 2^k = 16 \) を満たす \( k = 4 \) が最大比較回数となります（一般に \( \log_2 N \) 回）。

👨‍🏫 教員のアドバイス
線形探索（順番に探す：最大16回）と比較して、二分探索がいかに計算量を削減（\( \log_2 N \)）しているかというアルゴリズムの効率性を評価する視点です。

【解答】 \( a_{n+1} = 1.1 a_n – 20 \)

【ステップ1：増加分の数式化】
10% 増加すると元の 1.1 倍になるため、増殖後の個体数は **\( 1.1 a_n \)** です。

【ステップ2：捕獲分の反映】
そこから 20 尾引かれるため、翌年（\( n+1 \) 年目）の個体数 \( a_{n+1} \) は以下の式で表されます。
\[ a_{n+1} = 1.1 a_n – 20 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
現実社会の変動現象（人口変化・薬物濃度・個体数）を漸化式で表現する手法を「離散数理モデル（差分方程式）」と呼びます。