式と曲線　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学C）〜

【解答】 \( y^2 = 8x \)

【ステップ1：標準形の選択】
焦点が \( (p, 0) \)、準線が \( x = -p \) である放物線の標準形は **\( y^2 = 4px \)** です。

【ステップ2：パラメータの代入】
問題文より \( p = 2 \) であるため、標準形に代入します。
\[ y^2 = 4 \cdot 2 \cdot x \]
\[ y^2 = 8x \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
放物線 \( y^2 = 4px \) は「点 \( (x, y) \) から焦点 \( (p, 0) \) までの距離と、準線 \( x = -p \) までの距離が等しい点の軌跡」です。定義とセットで標準形を押さえましょう。

【解答】 焦点：\( (4, 0), (-4, 0) \)、長軸の長さ：\( 10 \)、短軸の長さ：\( 6 \)

【ステップ1：定数の抽出】
楕円の標準形 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（\( a > b > 0 \)）と比較します。
\( a^2 = 25 \) より \( a = 5 \)
\( b^2 = 9 \) より \( b = 3 \)

【ステップ2：焦点座標の計算】
焦点 \( (c, 0), (-c, 0) \) の \( c \) は、関係式 **\( c^2 = a^2 – b^2 \)** を満たします。
\[ c^2 = 25 – 9 = 16 \]
\( c > 0 \) より \( c = 4 \)
したがって、焦点の座標は **\( (4, 0), (-4, 0) \)** です。

【ステップ3：長軸長・短軸長の算出】
・長軸の長さ：\( 2a = 2 \times 5 = 10 \)
・短軸の長さ：\( 2b = 2 \times 3 = 6 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
楕円では \(c^2 = a^2 – b^2\)（大きい方から小さい方を引く）となります。双曲線の関係式 \(c^2 = a^2 + b^2\) と混同しやすいので注意してください！

【解答】 焦点：\( (5, 0), (-5, 0) \)、漸近線：\( y = \frac{3}{4}x, y = -\frac{3}{4}x \)

【ステップ1：定数の抽出】
双曲線の標準形 \( \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) と比較します。
\( a^2 = 16 \) より \( a = 4 \)
\( b^2 = 9 \) より \( b = 3 \)

【ステップ2：焦点座標の計算】
双曲線の焦点 \( (c, 0), (-c, 0) \) の \( c \) は、関係式 **\( c^2 = a^2 + b^2 \)** を満たします。
\[ c^2 = 16 + 9 = 25 \]
\( c > 0 \) より \( c = 5 \)
したがって、焦点の座標は **\( (5, 0), (-5, 0) \)** です。

【ステップ3：漸近線の方程式】
漸近線公式 **\( y = \pm \frac{b}{a}x \)** に代入します。
\[ y = \pm \frac{3}{4}x \]
すなわち、\( y = \frac{3}{4}x \) および \( y = -\frac{3}{4}x \) です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
右辺が \(1\) の双曲線は左右に開き（焦点は \(x\) 軸上）、右辺が \(-1\) の双曲線は上下に開きます（焦点は \(y\) 軸上）。右辺の符号を必ず確認しましょう。

【解答】 中心の座標：\( (2, -1) \)、楕円 \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \) を \( x \) 軸方向に \( 2 \)、\( y \) 軸方向に \( -1 \) 平行移動した曲線

【ステップ1：平方完成による標準形への変形】
\( x \) と \( y \) についてそれぞれ平方完成します。
\[ 4(x^2 – 4x) + 9(y^2 + 2y) – 11 = 0 \]
\[ 4\{(x – 2)^2 – 4\} + 9\{(y + 1)^2 – 1\} – 11 = 0 \]
\[ 4(x – 2)^2 – 16 + 9(y + 1)^2 – 9 – 11 = 0 \]
\[ 4(x – 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36 \]

【ステップ2：両辺を36で割る】
\[ \frac{(x – 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1 \]

【ステップ3：平行移動の読み取り】
これは楕円 \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \) の \( x \) を \( x – 2 \)、\( y \) を \( y – (-1) \) に置き換えた形です。
したがって、中心の座標は **\( (2, -1) \)** であり、元の楕円を **\( x \) 軸方向に \( 2 \)、\( y \) 軸方向に \( -1 \)** 平行移動したものとなります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
二次曲線の一般形（\( x, y \) の2次方程式）は、平方完成によって標準形に持ち込み、中心や頂点のズレを読み取るのが基本手順です。

【解答】 \( x + 2y – 4 = 0 \)

【ステップ1：接線の公式の適用】
楕円 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上の点 \( (x_1, y_1) \) における接線の公式は **\( \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 \)** です。
接点 \( (x_1, y_1) = (2, 1) \) を代入します。

【ステップ2：式の整理】
\[ \frac{2x}{8} + \frac{1y}{2} = 1 \]
\[ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \]
両辺に 4 をかけます。
\[ x + 2y = 4 \]
\[ x + 2y – 4 = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
二次曲線上の点における接線公式は、\(x^2 \to x_1 x\)、\(y^2 \to y_1 y\)、\(x \to \frac{x + x_1}{2}\) と置き換えるだけで簡単に作れます。

【解答】 (1) 放物線、(2) 楕円

【ステップ1：離心率 \( e \) による分類ルールの確認】
焦点と準線からの距離の比 \( e \)（離心率）による曲線の分類は以下の通りです。
・\( e = 1 \) のとき：**放物線**
・\( 0 < e < 1 \) のとき：**楕円**
・\( e > 1 \) のとき：**双曲線**

【ステップ2：各小問の判定】
(1) \( e = 1 \) なので、軌跡は **放物線** となります。（定義：焦点と準線からの距離が等しい）
(2) \( e = \frac{1}{2} \) は \( 0 < e < 1 \) を満たすため、軌跡は **楕円** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
離心率 \(e\) の値で二次曲線が統一的に分類できる概念は非常に重要です。「1より小さいと楕円、1だと放物線、1より大きいと双曲線」と覚えておきましょう。

【解答】 \( (2, 2\sqrt{3}) \)

【ステップ1：変換公式の確認】
極座標 \( (r, \theta) \) から直交座標 \( (x, y) \) への変換公式は以下の通りです。
・**\( x = r \cos \theta \)**
・**\( y = r \sin \theta \)**

【ステップ2：代入と計算】
\( r = 4 \)、\( \theta = \frac{\pi}{3} \) を代入します。
・\( x = 4 \cos \frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \)
・\( y = 4 \sin \frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \)

【ステップ3：結論】
求める直交座標は **\( (2, 2\sqrt{3}) \)** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
極座標 \( (r, \theta) \) と直交座標 \( (x, y) \) の相互変換は、\( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, r^2 = x^2 + y^2 \) の三角比の基本定義そのものです。

【解答】 \( r = 4\cos\theta \)

【ステップ1：直交座標と極座標の関係式を代入】
\( x^2 + y^2 = r^2 \)、\( x = r \cos \theta \) を与えられた方程式に代入します。
\[ r^2 – 4r \cos \theta = 0 \]

【ステップ2：\( r \) について整理】
\[ r(r – 4\cos\theta) = 0 \]
\( r = 0 \)（原点）は \( r = 4\cos\theta \) が \( \theta = \frac{\pi}{2} \) のときに含まれるため、求める極方程式は以下の通りです。
\[ r = 4\cos\theta \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
中心が \( (a, 0) \) で原点を通る半径 \(a\) の円の極方程式は \(r = 2a\cos\theta\) となります。頻出パターンとして形を覚えておくと便利です。

【解答】 焦点が極（原点）、頂点が \( (1, 0) \) である放物線

【ステップ1：分母を払って直交座標に変換】
\[ r(1 + \cos\theta) = 2 \]
\[ r + r\cos\theta = 2 \]
\( r\cos\theta = x \) および \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) を代入します。
\[ \sqrt{x^2 + y^2} + x = 2 \]
\[ \sqrt{x^2 + y^2} = 2 – x \]

【ステップ2：両辺を2乗して整理】
\[ x^2 + y^2 = (2 – x)^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 4 – 4x + x^2 \]
\[ y^2 = -4x + 4 \]
\[ y^2 = -4(x – 1) \]

【ステップ3：図形の同定】
これは放物線 \( y^2 = -4x \) を \( x \) 軸方向に 1 平行移動したものです。
したがって、**焦点が原点 \( (0, 0) \)、頂点が \( (1, 0) \) である放物線** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
二次曲線の極方程式の一般形は \( r = \frac{l}{1 + e\cos\theta} \) です。\( \cos\theta \) の係数 \( e \) が離心率に対応しており、本問では \( e = 1 \) なので即座に放物線と判定することもできます。

【解答】 \( (2\pi, 4) \)

【ステップ1：\( \theta = \pi \) を代入】
与えられた媒介変数表示に \( \theta = \pi \) を直接代入します。

【ステップ2：\( x \) 座標の計算】
\( \sin\pi = 0 \) であるため、
\[ x = 2(\pi – \sin\pi) = 2(\pi – 0) = 2\pi \]

【ステップ3：\( y \) 座標の計算】
\( \cos\pi = -1 \) であるため、
\[ y = 2(1 – \cos\pi) = 2(1 – (-1)) = 2(2) = 4 \]

【ステップ4：結論】
求める座標は **\( (2\pi, 4) \)** です。（これはサイクロイドの1山目の最高点にあたります）

👨‍🏫 教員のアドバイス
半径 \(a\) の円が直線上を転がるときに円周上の1点が描く軌跡「サイクロイド」は、入試・テストで超頻出のテーマです。\(x = a(\theta – \sin\theta)\)、\(y = a(1 – \cos\theta)\) の形は必ず暗記しておきましょう！