関数の極限　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学III）〜

【解答】 \( \frac{4}{3} \)

【解説】
【ステップ1】
\( x \to 2 \) とすると \(\frac{0}{0}\) の不定形になるため、分子・分母を因数分解します。
\[ \lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{(x – 2)(x + 1)} \]

【ステップ2】
\( x \ne 2 \) なので、共通因数 \( x – 2 \) で約分します。
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 1} \]

【ステップ3】
\( x = 2 \) を代入します。
\[ = \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(\frac{0}{0}\) の不定形は、0 になる原因の因数（ここでは \(x-2\)）を約分して消去するのが基本です。

【解答】 \( \frac{1}{4} \)

【解説】
【ステップ1】
分子を有理化するために、分子・分母に \( \sqrt{x + 4} + 2 \) を掛けます。
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4} – 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) – 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} \]

【ステップ2】
\( x \ne 0 \) なので \( x \) で約分します。
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} \]

【ステップ3】
\( x = 0 \) を代入します。
\[ = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
ルートを含む \(\frac{0}{0}\) の不定形は「有理化」によって約分できる形を作り出します。

【解答】 \( -1 \)

【解説】
【ステップ1】
\( x = -t \) と置換すると、\( x \to -\infty \) のとき \( t \to \infty \) となります。
\[ \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{(-t)^2 + 2(-t)} + (-t) \right) = \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{t^2 – 2t} – t \right) \]

【ステップ2】
分子を有理化します。
\[ = \lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t^2 – 2t} – t)(\sqrt{t^2 – 2t} + t)}{\sqrt{t^2 – 2t} + t} \]
\[ = \lim_{t \to \infty} \frac{(t^2 – 2t) – t^2}{\sqrt{t^2 – 2t} + t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-2t}{\sqrt{t^2 – 2t} + t} \]

【ステップ3】
分子・分母を \( t \)（\( t > 0 \)）で割ります。
\[ = \lim_{t \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{1 – \frac{2}{t}} + 1} = \frac{-2}{\sqrt{1 – 0} + 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(x \to -\infty\) の問題は、\(x = -t\) とおいて \(t \to \infty\) に置き換えるのが符号ミスを防ぐ鉄則です！（ルート外出し時の \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\) のミスが防げます）

【解答】 \( \lim_{x \to 1+0} f(x) = 1 \)、\( \lim_{x \to 1-0} f(x) = -1 \)、極限 \( \lim_{x \to 1} f(x) \) は存在しない。

【解説】
【ステップ1：右極限 \( x \to 1+0 \)】
\( x > 1 \) の範囲から 1 に近づくため、\( x – 1 > 0 \) となり \( |x – 1| = x – 1 \) です。
\[ \lim_{x \to 1+0} \frac{x – 1}{x – 1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1 \]

【ステップ2：左極限 \( x \to 1-0 \)】
\( x < 1 \) の範囲から 1 に近づくため、\( x - 1 < 0 \) となり \( |x - 1| = -(x - 1) \) です。
\[ \lim_{x \to 1-0} \frac{-(x – 1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1-0} (-1) = -1 \]

【ステップ3：極限の判定】
右極限と左極限の値が一致しないため、\( x \to 1 \) における極限は存在しません。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「右極限 ＝ 左極限」となって初めて「極限が存在する」と言えます。絶対値やガウス記号を含む式では必ず片側極限を調べましょう。

【解答】 \( \frac{3}{2} \)

【解説】
【ステップ1】
三角関数の極限公式 **\( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \)** を利用するため、\(\sin 3x\) の角に合わせて分母に \( 3x \) を作ります。
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} \right) \]

【ステップ2】
\( 3x = \theta \) とおくと、\( x \to 0 \) のとき \( \theta \to 0 \) です。
\[ = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{3}{2} \right) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\(\sin\) の中身の式」と「分母の式」を同じ形に揃えるのが解法のポイントです。

【解答】 \( \frac{1}{2} \)

【解説】
【ステップ1】
分子・分母に \( 1 + \cos x \) を掛けます。
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \]

【ステップ2】
\( 1 – \cos^2 x = \sin^2 x \) を代入します。
\[ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \right) \]

【ステップ3】
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) および \( \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \) より極限値を計算します。
\[ = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\(1 – \cos x\) を見たら \(1 + \cos x\) を掛けて \(\sin^2 x\) に変形する」のは超頻出テクニックです。極限値 \(\frac{1}{2}\) の結果自体も覚えておくと便利です。

【解答】 \( 2 \)

【解説】
【ステップ1】
指数関数の極限公式 **\( \lim_{t \to 0} \frac{e^t – 1}{t} = 1 \)** を利用するため、指数部分に合わせて分母に \( 2x \) を作ります。
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x} – 1}{2x} \cdot 2 \right) \]

【ステップ2】
\( 2x = t \) とおくと、\( x \to 0 \) のとき \( t \to 0 \) です。
\[ = \lim_{t \to 0} \left( \frac{e^t – 1}{t} \cdot 2 \right) = 1 \cdot 2 = 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(\frac{e^t – 1}{t}\) の公式も、指数部分と分母の形を揃えるのがポイントです。

【解答】 \( 3 \)

【解説】
【ステップ1】
対数関数の極限公式 **\( \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{t} = 1 \)** を利用するため、対数の中身に合わせて分母に \( 3x \) を作ります。
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1 + 3x)}{3x} \cdot 3 \right) \]

【ステップ2】
\( 3x = t \) とおくと、\( x \to 0 \) のとき \( t \to 0 \) です。
\[ = \lim_{t \to 0} \left( \frac{\log(1 + t)}{t} \cdot 3 \right) = 1 \cdot 3 = 3 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
この公式はネイピア数 \(e\) の定義式 \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \) の両辺の対数をとった形と同値です。

【解答】 \( a = 4, b = -8 \)

【解説】
【ステップ1：分子が 0 に収束する条件】
\( x \to 2 \) のとき（分母）\( \to 0 \) であり、極限値 1 が存在するので、（分子）\( \to 0 \) となる必要があります。
\[ \lim_{x \to 2} (a\sqrt{x + 2} + b) = 0 \]
\[ a\sqrt{4} + b = 0 \]
\[ 2a + b = 0 \quad \text{より} \quad b = -2a \quad \cdots (\text{A}) \]

【ステップ2：極限値の計算】
式（A）を元の式に代入します。
\[ \lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x + 2} – 2a}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x + 2} – 2)}{x – 2} \]
分子を有理化します。
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{a(x + 2 – 4)}{(x – 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{a(x – 2)}{(x – 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{a}{2 + 2} = \frac{a}{4} \]

【ステップ3：定数の決定】
この極限値が 1 となるので、
\[ \frac{a}{4} = 1 \quad \text{より} \quad a = 4 \]
式（A）に代入して、
\[ b = -2(4) = -8 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「分母が 0 に収束し、全体が有限な値に収束するなら、分子も 0 に収束する」という論理展開は記述試験で必須の解法パターンです。

【解答】 \( a = 3 \)

【解説】
【ステップ1：連続であるための条件】
関数 \( f(x) \) が \( x = 2 \) で連続であるための条件は **\( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \)** です。

【ステップ2：極限値の計算】
\( x \to 2 \) のときの極限値を求めます。
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – x – 2}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 1)}{x – 2} \]
\[ = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \]

【ステップ3：定数の決定】
\( f(2) = a \) なので、連続である条件より、
\[ a = 3 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\(x \to a\) の極限値」と「\(x = a\) での関数値 \(f(a)\)」が一致するとき、その関数は \(x = a\) で「連続（グラフがつながっている）」と言います。