微分法　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学III）〜

【解答】 \( y’ = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2} \)

【ステップ1】
商の微分公式 **\( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)** を適用します。
分子：\( u = x \)
分母：\( v = x^2 + 1 \)
それぞれの導関数は \( u’ = 1 \)、\( v’ = 2x \) です。

【ステップ2】
公式に代入して分子を整理します。
\[ y’ = \frac{(1)(x^2 + 1) – x(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y’ = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y’ = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
商の微分は「（分子ダッシュ × 分母）マイナス（分子 × 分母ダッシュ）」の分子のマイナス符号に注意しましょう！

【解答】 \( y’ = 24x(3x^2 – 2)^3 \)

【ステップ1】
\( u = 3x^2 – 2 \) とおくと、\( y = u^4 \) と表せます。
合成関数の微分公式 **\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)** を利用します。

【ステップ2】
それぞれ微分します。
・\( \frac{dy}{du} = 4u^3 \)
・\( \frac{du}{dx} = 6x \)

【ステップ3】
掛け合わせて \( u \) を元の式に戻します。
\[ y’ = 4u^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 – 2)^3 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「全体を大きく微分して、最後に『中身の微分』を掛ける」と頭に入れると素早く計算できます。

【解答】 \( y’ = 6\sin^2 2x \cos 2x \)

【ステップ1】
本問は \( y = (\sin 2x)^3 \) という重なった合成関数です。
まず、3乗の外側の微分を行います。
\[ y’ = 3(\sin 2x)^2 \cdot (\sin 2x)’ \]

【ステップ2】
次に、中身の \( (\sin 2x)’ \) を計算します。
\( (\sin 2x)’ = (\cos 2x) \cdot (2x)’ = 2\cos 2x \)

【ステップ3】
全体を整理します。
\[ y’ = 3\sin^2 2x \cdot (2\cos 2x) \]
\[ y’ = 6\sin^2 2x \cos 2x \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「3乗の微分」「\(\sin\) の微分」「角 \(2x\) の微分」の3段階の合成関数微分です。順番に1つずつ崩していきましょう。

【解答】 (1) \( y’ = -2xe^{-x^2} \)、(2) \( y’ = \frac{2x}{x^2 + 1} \)

【小問(1)の解説】
\( (e^u)’ = e^u \cdot u’ \) を適用します。
\( u = -x^2 \) とおくと \( u’ = -2x \) です。
\[ y’ = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2} \]

【小問(2)の解説】
\( (\log u)’ = \frac{u’}{u} \) を適用します。
\( u = x^2 + 1 \) とおくと \( u’ = 2x \) です。
\[ y’ = \frac{2x}{x^2 + 1} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
対数関数 \( \log u \) の微分公式 **\( (\log u)’ = \frac{u’}{u} \)**（分母に元の式、分子にその微分）は非常に頻出ですので、ダイレクトに使えるようにしておきましょう！

【解答】 \( y’ = x^x (1 + \log x) \)

【ステップ1】
底にも指数にも変数 \( x \) が含まれているため、両辺の自然対数をとります。
\[ \log y = \log (x^x) \]
対数の性質を用いて指数 \( x \) を前に出します。
\[ \log y = x \log x \]

【ステップ2】
両辺を \( x \) で微分します。
左辺は合成関数の微分により \( \frac{y’}{y} \)、右辺は積の微分法を適用します。
\[ \frac{y’}{y} = (x)’ \log x + x (\log x)’ \]
\[ \frac{y’}{y} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \]
\[ \frac{y’}{y} = \log x + 1 \]

【ステップ3】
両辺に \( y \) を掛け、\( y = x^x \) を代入します。
\[ y’ = y (\log x + 1) \]
\[ y’ = x^x (1 + \log x) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「底と指数の両方に \(x\) がある式」や「複雑な掛け算・割り算・累乗の式」は、両辺の対数をとってから微分する「対数微分法」を使います。

【解答】 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{t} \)、\( t = 1 \) のときの値は \( 1 \)

【ステップ1：公式の確認】
媒介変数 \( t \) による微分の公式 **\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)** を利用します。

【ステップ2：それぞれの微分】
・\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t \)
・\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \)

【ステップ3：導関数の計算と代入】
公式に代入します。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{4t} = \frac{1}{t} \]
\( t = 1 \) を代入すると、
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1} = 1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(x\) と \(y\) が直接つながらずパラメータ \(t\) で表されている場合は、「\(y\) を \(t\) で微分したもの」を「\(x\) を \(t\) で微分したもの」で割るだけで導関数が求まります。

【解答】 接線：\( y = -\frac{1}{4}x + 1 \)、法線：\( y = 4x – \frac{15}{2} \)

【ステップ1：導関数と傾きの計算】
\( y = x^{-1} \) より、\( y’ = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
\( x = 2 \) における微分係数（接線の傾き \( m \)）を求めます。
\[ m = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} \]

【ステップ2：接線の方程式】
点 \( (2, \frac{1}{2}) \) を通り、傾き \( -\frac{1}{4} \) の直線を求めます。
\[ y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x – 2) \]
\[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1 \]

【ステップ3：法線の方程式】
接線と直交する直線（法線）の傾きを \( m’ \) とすると、\( m \cdot m’ = -1 \) より、
\[ -\frac{1}{4} \cdot m’ = -1 \quad \text{したがって} \quad m’ = 4 \]
点 \( (2, \frac{1}{2}) \) を通り、傾き 4 の直線を求めます。
\[ y – \frac{1}{2} = 4(x – 2) \]
\[ y = 4x – 8 + \frac{1}{2} = 4x – \frac{15}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
法線とは「接点を通って接線に垂直な直線」のことです。傾きの積が \(-1\) になる関係（\(m’ = -\frac{1}{m}\)）を利用しましょう。

【解答】 \( x + 2y = 5 \)

【ステップ1：両辺を \( x \) で微分】
\( x^2 + y^2 = 5 \) の両辺を \( x \) で微分します。
\( y^2 \) の部分は合成関数の微分により \( \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dy}(y^2) \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} \) となります。
\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]

【ステップ2：\( \frac{dy}{dx} \) を求める】
\( y \ne 0 \) のとき、
\[ 2y \frac{dy}{dx} = -2x \quad \text{より} \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]

【ステップ3：接線の方程式の計算】
点 \( (1, 2) \) における接線の傾きは、\( x = 1, y = 2 \) を代入して、
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \]
したがって、接線の方程式は、
\[ y – 2 = -\frac{1}{2}(x – 1) \]
\[ 2y – 4 = -x + 1 \quad \text{整理して} \quad x + 2y = 5 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(y = f(x)\) の形に変形しにくい「陰関数（曲線の方程式）」でも、\(y\) を \(x\) の関数と思って両辺を \(x\) で微分すれば傾き \( \frac{dy}{dx} \) が求まります。

【解答】 \( x = -1 \) で極小値 \( -\frac{1}{e} \) をとる。極大値はない。

【ステップ1：導関数の計算】
積の微分法を適用します。
\[ f'(x) = (x)’ e^x + x (e^x)’ = 1 \cdot e^x + x e^x = (x + 1)e^x \]

【ステップ2：符号の判定と増減の分析】
\( e^x > 0 \) は常に成り立つため、\( f'(x) = 0 \) となるのは \( x + 1 = 0 \) すなわち **\( x = -1 \)** のときです。
・\( x < -1 \) のとき：\( f'(x) < 0 \)（減少）
・\( x > -1 \) のとき：\( f'(x) > 0 \)（増加）

【ステップ3：極値の算出】
\( f'(x) \) の符号が「負から正」へ変化するため、\( x = -1 \) で極小となります。
\[ f(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\(e^x > 0\) のように常に正となる因数は、\(f'(x)\) 全体の符号変化に影響を与えません。\(x+1\) の符号だけに注目すればOKです。

【解答】 \( x < 1 \) で上に凸、\( x > 1 \) で下に凸。変曲点 \( (1, -2) \)

【ステップ1：第1次および第2次導関数の計算】
・\( y’ = 3x^2 – 6x \)
・\( y” = 6x – 6 = 6(x – 1) \)

【ステップ2：第2次導関数 \( y” \) の符号判定】
\( y” = 0 \) となるのは **\( x = 1 \)** のときです。
・\( x < 1 \) のとき：\( y'' < 0 \) となるため、**上に凸**
・\( x > 1 \) のとき：\( y” > 0 \) となるため、**下に凸**

【ステップ3：変曲点の計算】
\( x = 1 \) の前後で凹凸が変化するため、点 \( (1, y(1)) \) は変曲点です。
\( y(1) = 1^3 – 3(1)^2 = -2 \)
したがって、変曲点の座標は **\( (1, -2) \)** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
・\(y” > 0\) の区間：下に凸（谷の形）
・\(y” < 0\) の区間：上に凸（山の形）
・\(y”\) の符号が入れ替わる境界の点が「変曲点」です。

【解答】 最大値：\( \frac{1}{2} + \log 2 \) （\( x = \frac{1}{2} \) のとき）、最小値：\( 1 \) （\( x = 1 \) のとき）

【ステップ1：導関数の計算】
\[ f'(x) = 1 – \frac{1}{x} = \frac{x – 1}{x} \]
定義域 \( \frac{1}{2} \le x \le 2 \) において、\( f'(x) = 0 \) となるのは **\( x = 1 \)** です。

【ステップ2：増減の確認】
・\( \frac{1}{2} \le x < 1 \) のとき：\( f'(x) < 0 \)（単調減少）
・\( 1 < x \le 2 \) のとき：\( f'(x) > 0 \)（単調増加）
したがって、\( x = 1 \) で最小値をとります。
最小値：\( f(1) = 1 – \log 1 = 1 – 0 = 1 \)

【ステップ3：端点での値を比較して最大値を決定】
・\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} – \log\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \log 2 \)
・\( f(2) = 2 – \log 2 \)
この2つの値を比較します。
\( \left(\frac{1}{2} + \log 2\right) – (2 – \log 2) = 2\log 2 – \frac{3}{2} = \log 4 – 1.5 \)
\( e \approx 2.718 \) より \( e^{1.5} \approx 4.48 > 4 \) なので、\( \log 4 < 1.5 \) となり、差は負です。
したがって、\( f\left(\frac{1}{2}\right) > f(2) \) であるため、最大値は **\( x = \frac{1}{2} \)** のとき **\( \frac{1}{2} + \log 2 \)** となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
閉区間における最大・最小問題は、「極値候補」と「区間の両端の値」をすべて計算して大きさを比較するのが確実です。

【解答】 \( f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x} \)

【ステップ1：順に微分して規則性を発見する】
1回微分：\( f'(x) = 2e^{2x} \)
2回微分：\( f”(x) = 2 \cdot 2e^{2x} = 2^2 e^{2x} \)
3回微分：\( f”'(x) = 2^2 \cdot 2e^{2x} = 2^3 e^{2x} \)

【ステップ2：規則性を \( n \) に拡張する】
微分を1回繰り返すごとに、係数として 2 が1つ掛け合わされます。
したがって、\( n \) 回微分した第 \( n \) 次導関数は次のようになると推測できます。
\[ f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
高次導関数は「第1次、第2次、第3次…」と具体的に計算して係数や符号の周期性（規則性）を見つけるのが標準的な解法です。（記述問題では数学的帰納法で証明すると万全です）

【解答】 解説参照

【ステップ1：関数の設定と単調性の確認】
\( f(x) = x – \cos x \) とおきます。
\( f(x) \) を微分します。
\[ f'(x) = 1 – (-\sin x) = 1 + \sin x \]
区間 \( 0 < x < \pi \) において、\( \sin x > 0 \) であるため、
\[ f'(x) = 1 + \sin x > 1 > 0 \]
したがって、\( f(x) \) は区間 \( 0 < x < \pi \) で**単調に増加**します。

【ステップ2：端点での符号の確認】
端点における関数の値を調べます。
・\( f(0) = 0 – \cos 0 = 0 – 1 = -1 < 0 \)
・\( f(\pi) = \pi – \cos \pi = \pi – (-1) = \pi + 1 > 0 \)

【ステップ3：解の存在と唯一性の結論】
\( f(x) \) は連続関数であり、\( f(0) < 0 \) かつ \( f(\pi) > 0 \) であるため、**中間値の定理**により \( 0 < x < \pi \) の範囲に \( f(x) = 0 \) となる実数解が少なくとも1つ存在します。
さらに、ステップ1より \( f(x) \) はこの区間で単調増加するため、実数解は**ただ1つ**に限られます。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「解が1つだけ存在すること」を示すには、①中間値の定理で「解が少なくとも1つ存在する」ことを示し、②単調増加（または減少）で「2つ以上は存在し得ない」ことを示す、という2段階アプローチが定石です。

【解答】 速度 \( v = 0 \)、加速度 \( a = 6 \)

【ステップ1：速度 \( v \) の計算】
位置 \( x \) を時刻 \( t \) で1回微分すると速度 \( v \) になります。
\[ v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 – 6t \]
\( t = 2 \) を代入します。
\[ v = 3(2)^2 – 6(2) = 12 – 12 = 0 \]

【ステップ2：加速度 \( a \) の計算】
速度 \( v \) を時刻 \( t \) でさらに微分（位置 \( x \) の第2次導関数）すると加速度 \( a \) になります。
\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2} = 6t – 6 \]
\( t = 2 \) を代入します。
\[ a = 6(2) – 6 = 12 – 6 = 6 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
・位置 \(x\) の 1階微分 ＝ 速度 \(v\)
・位置 \(x\) の 2階微分（速度の1階微分）＝ 加速度 \(a\)
という物理的意味をしっかり押さえましょう。

【解答】 1次近似式：\( \sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{1}{2}h \)、近似値：\( 1.01 \)

【ステップ1：1次近似公式の確認】
\( |h| \) が十分小さいとき、\( x = 0 \) のまわりでの 1次近似公式は **\( f(h) \approx f(0) + f'(0)h \)** です。

【ステップ2：\( f(0) \) と \( f'(0) \) を求める】
・\( f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}} \) より、\( f(0) = \sqrt{1} = 1 \)
・\( f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \) より、\( f'(0) = \frac{1}{2} \)

【ステップ3：近似式への代入と近似値の計算】
公式に代入すると、次の1次近似式が得られます。
\[ \sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{1}{2}h \]
ここで \( \sqrt{1.02} = \sqrt{1 + 0.02} \) なので、\( h = 0.02 \) を代入します。
\[ \sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.02) = 1 + 0.01 = 1.01 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
1次近似式は、接線の式 \(y – f(a) = f'(a)(x-a)\) の変形（\(x = a+h\) とおいたもの）に過ぎません。接線で曲線を直線として近似しているイメージです。